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Sweeetangelll (Sweeetangelll)
Neues Mitglied
Benutzername: Sweeetangelll
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:08: | 
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ich bin nicht so gut mit den beweistechnicken wen mir jemand helfen könnte ...
Beweisen Sie sowohl mit direktem Beweis, mit Kontraposition, mit Widerspruchsbeweis und mit vollstÄndiger Induktion , dass das Quadrat einer geraden Zahl gerade ist. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 328
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:36: |
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1. direkt
Eine gerade Zahl g ist durch 2 teilbar, lässt sich also als 2n (n Î) schreiben.
g = 2n
g² = (2n)² = 4n² = 2*(2n²)
g² lässt sich also als 2m (m Î) schreiben, ist also auch gerade.
2. Kontraposition
Sei g² ungerade. Z.z. Dann ist auch g ungerade
Sei g² eine ungerade Quadratzahl. Dann enthält g² in seiner Primfaktordarstellung keinen Faktor 2. Die Primfaktordarstellung von g² enthält jeweils genau die doppelte Anzahl der Primfaktoren von g. Daher enthält auch die Primfaktordarstellung von g keine 2. Also ist g ungerade.
3. Widerspruch
Annahme: g gerade und g² ungerade
Dann gälte
g = 2n und g² = 2k + 1
g² = (2n)² und g² = 2k + 1
g² = 4n² und g² = 2k + 1
g² = 2*(2n) und g² = 2k + 1
g² ist gerade und g² ist ungerade # Widerspruch
4. Vollständige Induktion
Zu zeigen:
A(i): Für jedes i Î N gilt: die i-te gerade Zahl 2i hat ein gerades Quadrat.
(Falls auch die 0 zu N gerechnet wird, zeigen wir ihren Fall mit einem erweiterten Induktonsanfang).
A(0): 2*0 = 0 ist gerade, (2*0)²=0²=0 auch.
A(1): 2*1 = 2 ist gerade, (2*1)²=2²=4 auch.
noch zu zeigen:
Wenn (2n)² gerade ist, dann auch (2(n+1))²
Sei also (2n)²=4n² gerade.
(2(n+1))²=4(n²+2n+1)=4n²+4*2n+4 = 4n² + 2(4n+2)
4n² ist gerade, 2(4n+2) enthält den Faktor 2, ist also auch gerade. Damit auch (2(n+1))².
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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