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Ullimay (Ullimay)
Mitglied
Benutzername: Ullimay
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 13:00: | 
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Also probier ich's noch mal:
Wie ich zur Zielfunktion f(x) komm weiß ich schon, aber der Rest...
Einem Kreis mit r = 1 werden gleichschenkelige Dreiecke eingeschrieben.
a) zeigen Sie, dass die Funktionen f(x) = Wurzel aus (2x^3 - x^4) , x = Dreieckshöhe; und g(Alpha) = cos(Alph) + 0,5*sin(2Alpha) , 90-Alph. = Winkel zw. den Schenkeln des Dreiecks, den Flächeninhalt des eingeschriebenen Drecks beschreiben.
Ermitteln Sie für beide Funktionen die Extremstellen (ohne 2. Ableitung).
b) nähern Sie f(x) durch ein Taylor-Polynom 2. Grades. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1809
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 18:28: |
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zwische dem Radius=1, der Höhe x, und der Schenkellänge s und der Basis b
des
gleichschenkeligen 3ecks bestehen die Beziehungen
(b/2)²+(1-x)² = 1² daraus (b/2)=Wurzel(2x-x²)
x² + (b/2)² = s²
für die Fläche f(x) = x*(b/2) ergibt sich
somit
f(x) = x*Wurzel(2x-x²) = Wurzel(x²)*Wurzel(2x-x²)
also
f(x) = Wurzel(2x3-x4)
Der Winkel w der Schenkel ist der Peripheriewinkel
zum z Zentriwinkel der Radien zu den Basisecken,
also
z = 2*(90-Alph), und es
gilt
wird (b/2)=r*sin(z/2)= sin(90-Alph) = cos(Alph)
und x = r-r*cos(z/2) = 1-cos(90-Alph) = 1-sin(Alph),
also
Fläche = cos(Alph) - cos(Alph)sin(Alph)
Fläche = cos(Alph)-0,5*sin(2*Alph) = g(x) .
f'(x)= (6x²-4x³)/[2*Wurzel(..)] = 2x²(3-2x)/[..]
Maximum für f also bei x = 3/2
g'(Alph) = -sin(Alph) + 0,5*2*cos(2Alph)
g'(Alph) = cos(2Alph) - sin(Alph)
g'(Alph) = cos(2Alph) - cos(90-Alph)
g'(Alph)
= -2sin[(2Alph+90-Alph)/2] * sin[2Alph-90+Alph)/2]
= -2sin[(Alph+90)/2] * sin[(3Alph-90)/2]
bestimme das Passende Alph selbst .
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b)
für die Polynomentwicklung würd ich allerdings
bei
x*Wurzel(2x - x²)=x*Wurzel[-(1-x)²+1] bleiben
also
1-x = z,
f(x) = (1-z)*Wurzel(1-z²) nach z entwickeln,
mit
der allgemeinen Binomischen Reihe
und nun für z² für u einsetzen
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ullimay (Ullimay)
Mitglied
Benutzername: Ullimay
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 12:07: |
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Danke! Aber wie kommst du von Fläche = cos(Alph) - cos(Alph)sin(Alph) auf diese Fläche = cos(Alph)-0,5*sin(2*Alph) = g(x) ??? |
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