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Konstantenbestimmung bei f(x)=2^(a+bx...

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Julia_r (Julia_r)
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Junior Mitglied
Benutzername: Julia_r

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 09:32:   Beitrag drucken

Mit Logarithmus-Funktionen steh ich immer auf Kriegsfuß, deshalb komme ich bei folgender Aufgabe auch nicht weiter:

Kann man die Konstanten a, b, c so bestimmten, dass die Funktion f(x)=2^(a+bx+cx²) die Bedingungen f(-1)=1, f(0)=1/2, f(1)=1 erfüllt?

Ich habe nun für x die jeweiligen Werte eingesetzt:

I) f(-1)=2^(a-b+c)=1
II) f(0)=2^a=1/2
III) f(1)=2^(a+b+c)=1

Bei II) erhalte ich a=-1 (aber auch nur, weil ich weiß, dass 2^-1= 1/2 ist; errechnen kann ich's nicht)
Bei I) und III) komme ich überhaupt nicht weiter.
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Petra22 (Petra22)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:16:   Beitrag drucken

Hallo Julia,
deine Basis ist 2, du brauchst also den 2er-Logarithmus.
Du überlegst dir bei 2 ja, 2 hoch was ist 1/2. Das gleiche kannst du bei I und III machen: 2 hoch was ist 1. Dazu kannst du dir merken, dass jede beliebige Zahl hoch 0 eins ist. Es muss also gelten:

I a-b+c=0
III a+b+c=0

Dein Taschenrechner kann as sicher auch ausrechnen, da müsstest du mal Anleitung durchlesen. Wenn du es ohne machen willst, dann musst du dir das aber meines Wissens immer so überlegen, wie gerade dargestellt.
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Julia_r (Julia_r)
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Junior Mitglied
Benutzername: Julia_r

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 12:44:   Beitrag drucken

Hm, dass eine Zahl hoch 0 eins ergibt, wusste ich ... trotzdem komme ich nicht weiter.

Ich könnte jetzt zwar die einzelnen Konstanten ausrechenen, aber was würde mir das bringen?

I) a-b+c=0 => a=b-c und b=a+c und c=-a+b
III) a+b+c=0 => a=-b-c und b=-a-c und c=-a-b

Ich versteh's einfach nicht!
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Julia_r (Julia_r)
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Junior Mitglied
Benutzername: Julia_r

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 12:52:   Beitrag drucken

Im Grunde genommen kann man die Konstanten doch nicht bestimmen, oder? Ich habe zwar für die Konstante a etwas herausbekommen (-1), aber auch wenn ich das in I) oder III) einsetze, kann das doch nie aufgehen.

I) -1-b+c=0
III) -1+b+c=0

Dadurch, dass ich bei I) -+ rechne, erhalte ich doch ein völlig anderes Ergebnis als bei III), wo ich ++ rechne. Es kann doch daher gar nicht möglich sein, die Konstanten zu bestimmen.

Als Beispiel:a=-1, b=2 und c=3 (ich sehe jetzt einfach mal davon ab, dass das Ergebnis "Null" sein muss), das würde dann heißen:

I) -1-2+3=0, aber
III) -1+2+3=4

Wie ich's auch drehe und wende, es ist nicht möglich. Oder sehe ich das falsch?

(Beitrag nachträglich am 30., November. 2003 von julia_r editiert)
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Petra22 (Petra22)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 13:10:   Beitrag drucken

Die Aufgabe war, herauszufinden, ob man die Konstanten so bestimmen kann, dass deine Bedingungen erfüllt sind. Wie du selber rausgefunden hast, geht das nicht. Also ist die Antwort auf die Frage in der Aufgabenstellung: Nein
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 778
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 19:00:   Beitrag drucken

@Petra, du irrst! Da ist ziemlicher Nonsense passiert. Du musst in deiner ersten Antwort natürlich für a = -1 einsetzen!

Warum soll das dann nicht "aufgehen"?
Das sehr einfache Gleichungssystem I und III hat doch eine eindeutige Lösung!

Bitte wendet doch beim Auflösen von Gleichungssystemen die entsprechenden Regeln an, man braucht nicht zu raten!

-b + c = 1
b + c = 1 | addieren
------------
2c = 2
c = 1; b = 0 (durch Einsetzen von c in eine Gleichung)

Gr
mYthos
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Julia_r (Julia_r)
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Benutzername: Julia_r

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 19:51:   Beitrag drucken

Danke Mythos,

ich glaube, ich habe einfach mal wieder zu kompliziert gedacht! Auf so etwas leichtes bin ich wirklich nicht (mehr) gekommen ... aber jetzt, wo du es sagt, leutet es ein, danke!
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Petra22 (Petra22)
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Benutzername: Petra22

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 20:00:   Beitrag drucken

@mythos
der Nonsens ist erst in der zweiten Antwort passiert. Dass man für a -1 einsetzt war schon klar, nur dann hab ich irgendwie gedanklichen Mist gebaut.

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