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Scootec (Scootec)
Neues Mitglied
Benutzername: Scootec
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 23:56: | 
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Hallo zusammen,
ich bräuchte eure Hilfe.
Könnt ihr bitte anhand von Errechnung von Beispielen, mir den Rechenweg sagen und wie ich da vorgehe?
Ich habe in letzter Zeit die Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel durchgenommen.
Es hängt damit irgendwie zusammen, aber ich weis nicht wie ich es machen muss.
Also, bitte errechnet mir diese Beispiele mit genauem Rechenweg, weil ich sonst verzweifle.
Tangenten und Normalen
Aufgabe 1:
Zeigen Sie, dass die Gerade t Tangente an den Graphen von f ist. Geben Sie den Berührpunkt an.
a) t: y=8/9x+2/3 ; f(x)=x+1/x
b) t: y=4/5x-8/5 ; f(x)=(x²-4)/(x+3)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f, die parallel zur Gerade g ist.
a) f(x)=wurzelaus(25-x²) ; g: y=-4/3x
b) f(x)=2/(x²+1) ; g: y=x+3
Aufgabe 3:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x+4/x und er Punkt R(4|-4). Der Punkt B(u|v) sei ein Punkt des Graphen von f.
a) Bestimmen Sie die Steigung der Geraden g durch die beiden Punkte R und B.
b) Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen g durch die beiden Punkte R und B ?
c) Für Welche Werte von u ist die Gerade g Tangente an den Geraühen von f? Geben Sie die Koordinaten der Berührpunkte sowie die Gleichungen der Tangenten an.
Funktionsscharen
Aufgabe 4:
Für t element R \ {0} sind die Funktion ft gegeben durch ft(x)=(tx)/(x-1). Der Graph von ft sei Kt.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Kt im Punkt P(0|0).
b) Für welchen Wert von t hat Kt die erste Winkelhalbierende als Tangente?
c) Zeigen Sie, dass sich K2 und K-1/2 im Ursprung orthogonal schneiden.
Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar! |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 339
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 12:31: |
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hi,
1) leite beide gleichungen ab, setze beide ableitungen gleich und löse nach x auf! x ist dann der berührpunkt(mit der dazugehörgen y-koordinate)
detlef |
Scootec (Scootec)
Neues Mitglied
Benutzername: Scootec
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 14:00: |
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Aber das hilft mir nicht richtig weiter!
Hat jemand ne Ahnung?
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 777
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 18:33: |
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.. freilich.
Das Forum hier ist aber kein Hausaufgabenservice, das wird dir als neues Mitglied vielleicht noch nicht bekannt sein.
Mit anderen Worten: Wir erwarten von dir eine konkrete Fragenstellung! Was hast du selbst schon erarbeitet, wo ist dein Problem, usw.
Wenn du lapidar 4 Aufgaben postest, darfst du dich nicht wundern, wenn niemand Lust hat, darauf zu antworten.
Gr
mYthos
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Scootec (Scootec)
Junior Mitglied
Benutzername: Scootec
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 19:00: |
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Hallo,
sorry, ich habe vergessen es zu erwähnen!
Dies sind keine Hausaufgaben!
Ich wollte nur mich auf die Klausur vorbereiten, die in 1 Woche stattfinden wird.
Allerdings, bleibe ich an diesen Aufgaben hängen.
Ich weis zwar, wie ich die ganzen Ableitungsregeln anwenden muss, aber nicht auf die oben genannten Aufgaben, die mit Steigung usw. zu tun haben. Die Aufgaben, waren als abschließender Teil im Buch zum Thema Differentialrechnung.
Sorry, das es so erscheint als ob ich Hausaufgabenhilfe beanspruchen würde, aber es gibt Leute die in der Klasse 12 sich schon ein bisschen selbständiger verhalten als manche es sich hier glauben worzustellen. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 300
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:04: |
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Hi Scootec,
nicht gleich eingeschnappt sein 
Also los geht's:
Wenn t eine Tangente an den Graphen von f sein soll, dann müssen f und t an (mind.) einer Stelle dieselbe Steigung haben. Nun hat t (in Aufg. a) immer die Steigung 8/9. Wir bilden also die erste Ableitung von f
f'(x)=1 - (1/x²)
und setzen sie gleich 8/9.
1-(1/x²)=8/9
-(1/x²)=-1/9
x=+3 Ú x=-3
So, dieselbe Steigung haben die beiden also an diesen beiden Stellen. Um eine Tangente zu sein, muss t aber dort auch noch einen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam haben. Sehen wir nach:
t(-3)=-2; f(-3)=-3-(1/3) Das war wohl nichts.
t(3) = 10/3; f(3)=3+(1/3)=10/3 Bingo!
t und der Graph berühren sich also in (3;10/3).
Aufgabe b) verläuft entsprechend. Das kannst du sicher selbst.
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 301
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:16: |
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Die 2.Aufgabe ist ganz ähnlich. Da die Tangente und die gegebene Gerade parallel sein sollen, haben sie dieselbe Steigung. Wir brauchen also nur diejenige Stelle zu suchen, an der der Graph ebenfalls diese Steigung hat, und dann eine passende Geradengleichung herzustellen:
Steigung von g = m = -4/3
f(x) = Ö(25-x²)
f'(x)= (-2x)/(2*Ö(25-x²))=(-x)/Ö(25-x²)
f'(x)= -4/3 <=>
(-x)/Ö(25-x²)=-4/3 <=>
x = (4/3)*Ö(25-x²) =>
x² = (16/9)*(25-x²) <=>
(25/9)x²=(16/9)*25 <=>
x²=16 <=>
x=4 Ú x=-4
Wegen der Quadrierung müssen wir die Probe machen:
f'(4)=-4/3 (ok)
f'(-4)=4/3 ¹-4/3 (fällt weg)
Die Gerade ist also parallel zur Tangente an der Stelle x=4. f(4)=3, der y-Wert ist also 3.
Fehlt noch die Geradengleichung der Tangente. Da ich nicht weiß, ob du etwas mit der Punkt-Steigungs-Form anfangen kannst, gehe ich über die Normalform
y = mx + b
y = (-4/3)x + b
Durch Einsetzen
3 = (-4/3)*4 + b
25/3 = b
Also t: y = (-4/3)x+25/3
(wird fortgesetzt)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 302
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:36: |
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x+4/x und er Punkt R(4|-4). Der Punkt B(u|v) sei ein Punkt des Graphen von f.
a) Bestimmen Sie die Steigung der Geraden g durch die beiden Punkte R und B.
B hat dann die Koordinaten (u;u+4/u). Die Steigung ist also ((u+4/u)+4)/(u-4)=(u²+4+4u)/(u*(u-4).
b) Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen g durch die beiden Punkte R und B ?
Die Gerade wäre durch diese Angaben überbestimmt. Eine Tangente an den Graphen liegt ja durch die Angabe des Berührpunktes B schon fest (bzw. wenn B nicht der Berührpunkt sein soll, wäre die Steigung von BR gleich der in Aufgabe a berechneten Steigung). Ich gehe mal davon aus, dass die Tangente an den Graphen durch B gemeint ist.
f'(x)=1-4/x²
f'(u)=1-4/u²=m
c) Für Welche Werte von u ist die Gerade g Tangente an den Geraühen von f? Geben Sie die Koordinaten der Berührpunkte sowie die Gleichungen der Tangenten an.
1-4/u²=(u²+4u+4)/(u*(u-4))
(u²-4)/u²=(u²+4u+4)/(u*(u-4)) mit dem Hauptnenner multiplizieren und kürzen
(u²-4)(u-4)=u(u²+4u+4)
Die Lösung der Gleichung ist einfach und ergibt x=1 Ú x=-2.
Den Rest dieser Aufgabe schaffst du sicher allein - schließlich willst du ja üben...
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 303
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:54: |
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Aufgabe 4:
Für t element R \ {0} sind die Funktion ft gegeben durch ft(x)=(tx)/(x-1). Der Graph von ft sei Kt.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Kt im Punkt P(0|0).
Ableitung bestimmen:
ft'(x)=t*((x-1)-x)/(x-1)² = -t*1/(x-1)²
ft'(0)=-t
Also t: y = -tx
b) Für welchen Wert von t hat Kt die erste Winkelhalbierende als Tangente?
Die erste Winkelhalbierende (y=x) hat die Steigung 1. Aber prüfen wir zunächst einmal, ob y=x und f(x) überhaupt gemeinsame Punkte haben:
(tx)/(x-1)=x <=>
tx = x²-x <=>
x²-x-tx=0 <=>
x(x-(1+t))=0 <=>
x=0 Ú x=1+t
Nun überprüfen wir diese an diesen beiden Stellen, ob f und y=x die gleiche Steigung haben:
f'(0)= 1 <=> -t = 1 <=> t=-1
f'(1+t)=-t/(1+t-1)² = -1/t
-1/t = 1 <=> t=-1
Die beiden Möglichkeiten führen also zum selben Ergebnis:
Für t=-1 ist die Winkelhalbierende eine Tangente an den Graphen und zwar im Punkt (0;0)
c) Zeigen Sie, dass sich K2 und K-1/2 im Ursprung orthogonal schneiden.
Dazu berechnest du f2'(0)=a und f-1/2'(0)=b und zeigst, dass a*b=-1 gilt.
f2'(0)=-2
f-1/2'(0)=1/2
-2*1/2 = -1
That was it...
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 785
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:54: |
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Hi,
damit du siehst, dass wir durchaus eine hilfsbereite Gemeinde sind und Jair ein wenig entlastet ist, schreibe ich mal was zur 4. Aufgabe:
Für t element R \ {0} sind die Funktion ft gegeben durch ft(x)=(tx)/(x-1). Der Graph von ft sei Kt.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Kt im Punkt P(0|0).
Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung an der Stelle x = 0.
ft(x)=(tx)/(x-1) (t konst., Bruchregel)
ft'(x) = t*[(x - 1 - x)/(x - 1)² = -t/(x-1)²
ft'(0) = -t
Da die Tangente t durch den Nullpunkt geht, hat sie die Gleichung y = m*x, somit
t_t(0): y = -t*x
b) Für welchen Wert von t hat Kt die erste Winkelhalbierende als Tangente?
Deren Steigung muss in diesem Falle gleich 1 sein, also
-t = 1
t = -1
°°°°°°°
c) Zeigen Sie, dass sich K2 und K-1/2 im Ursprung orthogonal schneiden.
Wir hatten als Steigung allgemein
ft'(x) = -t/(x-1)², somit
f[2]'(x) = -2/(x-1)²
f[-1/2]'(x) = (1/2)/(x-1)² = 1/(2*(x-1)²)
Die Werte für den Nullpunkt lauten:
f[2]'(0) = -2
f[-1/2]'(0) = (1/2)
Diese beiden Werte sind negativ reziprok zueinander, daher stehen die Geraden mit diesen beiden Steigungen aufeinander senkrecht.
Gr
mYthos
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 304
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 22:56: |
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Zu spät, Mythos
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Scootec (Scootec)
Junior Mitglied
Benutzername: Scootec
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Dezember, 2003 - 15:26: |
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Hallo jungs,
vielen dank für eure Antworten!!!
Hat mir sehr geholfen!
Jetzt weis ich, wie ich weiterhin mit solchen Aufgaben vorgehen muss.
Ist ja eigentlich garnicht so schwer :-). Aber ohne euch muesste ich den lehrer tausend mal fragen und ich haette es immer noch nicht kapiert :-P.
Danke euch beiden!
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