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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 296
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 14:05: | 
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Hallo Marcel!
Hier zunächst eine Skizze:
Die Fläche eines Trapezes berechnet sich aus F=m*h=(1/2)*(a+c)*h, wobei mit m die Länge der Mittelparallele gemeint ist. a und c sind die Längen der beiden parallelen Seiten.
Laut Skizze ergibt sich:
a + c = b + 2x + b = 2(x+b)
Damit ist (1/2)(a+c)= x+b
h kann mit dem Pythagoras berechnet werden:
h = Ö(b²-x²)
Damit haben wir folgende Zielfunktion
f(x) = (b + x)Ö(b² - x²)
Ableiten mit Hilfe von Produkt- und Kettenregel:
f'(x)=1*Ö(b² - x²) - (2x)(b+x)/(2Ö(b² - x²))=Ö(b² - x²) - x(b+x)/Ö(b² - x²)
f'(x) gleich 0 setzen:
Ö(b² - x²) - x(b+x)/Ö(b² - x²)=0
Mit Ö(b² - x²) multiplizieren:
(b²-x²) - (bx + x²) = 0
Zusammenfassen:
-2x² - bx + b² = 0
Normieren und pq-Formel anwenden:
x² + (b/2)x -b²/2 = 0
x = -b/4 + Ö(b²/16+b²/2)
= -b/4 + Ö((9b²)/16)
= -b/4 + 3b/4
= b/2
(Die 2. Lösung ist negativ und fällt weg.)
Für die Höhe der Rinne ergibt sich also
h = Ö(b²-b²/4) = Ö((3/4)b²) = b/2 * Ö(3)
Der Sinus des Winkels zwischen der Seitenfläche und der Höhe beträgt (b/2)/b = 0,5; der Winkel selbst ist also 30°.
Der Gesamtwinkel zwischen Seiten- und Grundfläche beträgt also 30°+90°=120°.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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