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Beitrag |
    
Callmebush (Callmebush)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Callmebush
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 16:09: | 
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HI wie löst man ff. aufgabe?
k: (x-10)² + (y-5)² = 16
Nun sollen die tangentengleichungen durch den Punkt P (6/1) gebildet werden, aber P liegt NICHT auf dem Kreis? kann ihr mir helfen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1785
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 16:17: |
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Schneide eine Gerade
y = 6 + (x-1)*k mit dem Kreis und bestimme
k so, dass die Gleichung genau 2 Lösungen hat.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Callmebush (Callmebush)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Callmebush
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 08:58: |
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wie geht denn sowas?
bitte um hilfe |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1788
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 11:20: |
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Ein Gerade ist Tangente an einen Kreis
wenn sie nur einen Punkt mit ihm gemeinsam hat
daher müssen
k: (x-10)²+(y-5)²=16, g: y = 6 + (x-1)*k beide erfüllt sein;
und dürfen für das gesuchte k nur eine Lösung haben
g in k einsetzen
(x-10)² + (1+(x-1)*k)² = 16
(x-10)² + [k*x - (k-1)]² = 16
x²*(1+k²) - 2*x*[10 + k*(k-1)] + 10²+(k-1)² - 16 = 0
x²*(1+k²) - 2*x*[10+k*(k-1)] + (k-1)² +84 = 0
x² - 2*x*[10+k*(k-1)] /(1+k²) + [(k-1)² + 84 ] /(1+k²) = 0
nur eine Lösung hat die Gleichung wenn die Diskriminante D = 0
(D ist der Ausdruck unter der Wurzel der Lösung der Gleichung)
D = {[10+k*(k-1)] /(1+k²) }² - [(k-1)² + 84 ] /(1+k²)
wenn der
Zähler Z(D) = 0 ist ist auch D = 0
Z = [10+k*(k-1)]² - (1+k²)*[(k-1)² + 84 ]
Z = (k-1)²[k² - (1+k²)] + 20k*(k-1)+100 - 84*(1+k²)
Z = (k-1)² [k² - (1+k²)] + 20k(k-1) - 84*(1+k²) + 100
Z = -(k-1)² + k²(20-84) - 20k + 16
Z = k²(-1+20-84) -2k(-1+10) - 1 + 16
Z = -65k² - 2*k*9 - 15 = 0
da von einem Punkt ausserhalb eines Kreises 2 Tangenten
an diesen gibt, gibt es auch 2 Lösungen für k
k = [-9 ±4Wurzel(66)] / 65
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Callmebush (Callmebush)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Callmebush
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 11:50: |
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(x-10)² + (1+(x-1)*k)² = 16
(x-10)² + [k*x - (k-1)]² = 16
wo is denn die 1+ geblieben?
und wie kommt man auf die tangentengleichung woher weiß man wie man einsetzenmuss |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1793
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 12:16: |
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1 + (x-1)*k = 1 + k*x - k = k*x - (k-1)
die berechneten k setz Du
nun
in y = 6 + (x-1)*k ein,
das
sind, mit den beiden k,
die
Gleichungen der Tangenten
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 781
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 20:37: |
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Hi!
Mit der o.a. Methode, die nebenbei nicht zu empfehlen ist, kommt man in diesem Fall nur halb zum Ziel, weil eine der beiden Tangenten senkrecht zur x-Achse steht und deren Steigung - unendlich - kann sich daher NICHT als Lösung einer Gleichung ergeben.
Mittels einer Skizze wird dieser Sachverhalt unmittelbar ersichtlich!
Daher gehen wir so vor:
Bestimmung der Berührungspunkte T1 und T2 mittels der Polaren p, Pol P(6|1):
(6-10)*(x-10) + (1-5)*(y-5) = 16 (Spaltformel)
-4*(x-10) - 4*(y-5) = 16 |:4
-x + 10 -y + 5 = 4
p .. x + y = 11
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Diese schneidet den Kreis k in den zwei Berührungspunkten:
y = 11 - x
(x-10)² + (11-x-5)² = 16
x² - 20x + 100 + 36 - 12x + x² = 16
x² - 16x + 60 = 0
x1 = 6; x2 = 10
y1 = 5; y2 = 1
T1(6|5); T2(10;1)
Nun in diesen Punkten erneut die Spaltformel (=Tangentengleichung) anwenden, und man erhält die Gleichungen der beiden Tangenten!
t1:
(6-10)*(x-10) + (5-5)*(y-5) = 16
-4*(x-10) = 16
x - 6 = 0
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t2:
(10-10)*(x-10) + (1-5)*(y-5) = 16
-4*(y-5) = 16
y - 9 = 0
°°°°°°°°°
Gr
mYthos
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