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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 09:37: | 
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Hallo!
Ich habe hier ein paar Probleme, würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte!
Gegeben seien folgende Summen:
1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
Mir ist folgendes klar: Die Zahlen links erhält man mit 2n-1 und die Zahl recht ist n^3.
Bei folgenden Aufgaben hapert es bei mir:
a) Geben sie eine Formel an, die die Summe auf der linken Seite in der i-ten Zeile berechnet.
b) Geben sie eine Formel an, wie die letzte Zahl der i-ten Zeile auf der linken Seite gebildet wird.
c) Beweisen Sie die Korrektheit der Formel für die letzte Zahl der i-ten Zeile auf der linken Seite durch Induktion.
d) Geben sie an, wie sich aus der Formel für die rechte Seite die Differenz der zweier aufeinander folgenden Zeilen i und (i+1) berechnen lässt.
e) Geben sie an, wie sich der Summenwert zweier aufeinanderfolgenden Zeilen i und (i+1) auf der linken Seite unterscheidet
f) Geben sie den Unterschied zwischen der ersten Zahl in der (i+1)-ten Zeile und der i-ten Zeile auf der linken Seite an.
Viele Grüße
Lydia
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1776
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 10:38: |
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wenn die Angabe wirklich so wie beschrieben ist,
beginnt man am besten mit (f)( wobei die Antwort sich allerdings
nur VERMUTEN lässt, obwohl es natürlich so gemeint sein wird)
Die Differenzen der Anfangszahlen steigen jeweils um 2:
2, 4, 6, ...
die Anfangszahl der i-ten Zeile(i=1,2,...)
ist also
a1,i = 1 + 2*(1+2+..i-1) = 1 + 2*[(i-1)*(1 + i-1)/2]
a1,i = 1 + i*(i-1)
die Anzahl der Summanden in der i-ten Zeile ist i
der n-te Summand in der i-ten Zeile
ist
an,i = a1,i + 2*(n-1)
an,i = 1 + i*(i-1) + 2*(n-1)
Die Summe in der i-ten Zeile ist also die
der
Aritmetischen Reihe
mit| | | Anfangsglied | A = a1,i | | Endglied | E = ai,i | | Gliedanzahl | Z =i |
also
Summe = Z*(A + E)/2
Summe = i*[1+i*(i-1) + 1+i*(i-1) + 2*(i-1)]/2
Summe = i*[2 + (i-1)(2i+2)]/2 = i*[1 + (i-1)(i-1)]
Summe = i3
Damit sollten sich alle übrigen Fragen beantworten lassen
(Beitrag nachträglich am 27., November. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 13:33: |
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Hallo!
Vielen Dank erstmal! Könntest du mir vielleicht erklären wie du auf die Formel für die Summanden für die i-te Zeile gekommen bist?
Dazu hätte ich noch die Frage ob du mir bei dem Induktionsbeweis helfen könntest ... damit bin ich noch gar nicht grün. Es hapert schon am Ansatz ... also an der Induktionsvoraussetzung bzw. was ich überhaupt zeigen soll ??
Viele Grüße
Lydia |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1777
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 16:46: |
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wie schon gesagt,
solche "Reihenfortsetzungs"Aufgaben
sind
meist ein "RATEspiel"
aber
in jeder Zeile ist die Differenz zwischen
2 Aufeinanderfolgenden Werten immer 2 .
Wenn der 1te Wert der i-ten Zeile a1,i ist
ist
der 2te Wert a2,i=a1,i+1*2 = a1,i+(2-1)*2
der 3te Wert a3,i=a1,i+2*2 = a1,i+(3-1)*2
also
der kte Wert ak,i=a1,i+(k-1)*2
somit
der ite Wert ai,i=a1,i+(i-1)*2
für die Anfangswerte a1,i selbt der iten Zeilen "soll man sehen":
a2,1 = 03 = a1,1+2
a3,1 = 07 = a2,1+4 = a1,1+2+4
a4,1 = 13 = a3,1+6 = a1,1+2+4+6
--------------------------------------------
(b) ist beantwortet,
für (c) ist die Aufgabenstellung zu schwammig,
was soll den nun bewiesen werden? ( Wie auch
Du zu recht fragst )
e) ist eben (i+1)³-i³= 3*(i²+i)+1=3*i*(i+1)+1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 11:13: |
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Hallo!
Die Aufgabe für den Induktionsbeweis ist wortwörtlich wiedergegeben.
Aber man soll wohl zeigen, das die Formel mit der man jeweils die letzte Zahl auf der linken Seite erhält für alle Zeilen gültig ist?! Also gehört die Aufgabe b und c zusammen. Aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Viele Grüße
Lydia |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 776
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 12:20: |
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Hi,
die Formel von Friedrich muss noch für i (nicht für n) umgearbeitet werden, d.h. für das letzte Glied der i-ten Zeile (d.i. der i.te Summand in der i-ten Zeile) lautet dann:
a_i,i = 1 + i*(i-1) + 2*(i-1)
a_i,i = i² + i - 1
Zu dieser Beziehung kommt man auch auf folgende Weise:
Die jeweils letzten Glieder aller Zeilen bilden die Folge
<a_i> = <1, 5, 11, 19, ....>
1. Differenzfolge: 4, 6, 8, 10, ...
2. Differenzfolge: 2, 2, 2, ....
Da erst die 2. Differenzenfolge konstant (=2) ist, muss das Bildungsgesetz für die Folge quadratisch (mit den Koeffizienten a, b, c) sein:
a(_i) = a*i² + b*i + c
Um a, b, c zu berechnen, muss man mindestens 3 Glieder der Folge einsetzen:
1 = a + b + c
5 = 4a + 2b + c
11 = 9a + 3b + c
------------------
3a + b = 4
5a + b = 6
-----------
2a = 2
a = 1; b = 1; c = -1
a_(i) = i² + i - 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Diese Beziehung kann nun mittels Induktion verifiziert werden:
Ind. Anfang: i = 2 -> a(2) = 4 + 2 - 1 = 5, richtig
Ind. Annahme (Voraussetzg.): Formel ist richtig für i
Zu zeigen: Daraus folgt, Formel ist richtig für i + 1
Die Anfangszahl in der i-ten Zeile ist
a_1,i = 1 + i*(i-1), in der (i+1)-ten Zeile
a_1,(i+1) = 1 + (i+1)*i = i² + i + 1
Das letzte Glied in der (i+1)Zeile bekommt man, wenn zu dem ersten Glied noch i mal die Differenz 2 addiert wird, also 2*i:
a_n+1,n+1 = i² + i + 1 + 2i = i² + 3i + 1
Zu demselben Resultat müssen wir nun auch bei dem Induktionsbeweis kommen, wenn wir in der Formel statt für i gleich i + 1 einsetzen:
Lt. Ind. Vorauss. ist
a_(i) = i² + i - 1, somit
a_(i+1) = (i+1)² + (i+1) - 1 = i² + 3i + 1
Da beide Ergebnisse identisch sind, ist somit der Induktionsbeweis abgeschlossen!
Gr
mYthos
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