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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:41: | 
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1) Bestimme eine Ebene durch die Punkte A(1;2;3) und B (0;0;6), welche die Ebene E:x1 + x2+x3 = 6 unter einem Winkel von 30° schneidet.
2) Punkte A(-6;-2;4) unb B(0;6;6). Es gibt zwei Punkte R1 und R2 auf der x3-Achse so, dass die Dreiecke ABR1 bzw. ABR2 bei R1 bzw. bei R2 einen rechten Winkel haben. Bestimme diese beiden Punkte R1 und R2.
Kann mir jemand sagen, wie man das macht? (Muss nicht vorgerechnet werden, Worte reichen!) |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 10:06: |
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1) Du setzt die Ebene allgemein an mit einem beliebigen Punkt C(c1;c2;c3) und bestimmst den Normalenvektor.
Jetzt kennst du ja die Formel für den Schnittwinkel. Da setzt du ein, allerdings kennst du ja den Winkel schon. Du musst jetzt eben C bestimmen.
2) Hier setzt du wieder allgemein die zwei Ebenen an. Es muss dann gelten, dass die Normalenvektoren der Ebenen orthogonal zueinander sind.
Damit solltest du weiterkommen. Wenn nicht, dann frag nochmal. |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 13:32: |
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Danke! Komme aber leider mit den Angaben nicht viel weiter.. |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 15:31: |
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Wie weit kommst du denn? Kannst du die Ebene und den Normalenvektor bestimmen?
Du setzt
x=(1;2;3)+s(-1;-2;3)+t(c1-1;c2-2;c3-3), s,t Element R
Der Normalenvektor berechnet sich mit
n*(-1;-2;3)=0 <=> -n1-2n2+3n3=0
n*(c1-1;c2-2;c3-3)=0 <=> (c1-1)n1+(c2-2)n2+(c3-3)n3=0
Jetzt hast du zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, du kannst also eine frei wählen. Du bekommst dann mit n3=-2c1+c2 den Normalenvektor
n=(2c1+3c2;-3c1-c3;-2c1+c2)
Jetzt setz mal in die Formel für den Schnittwinkel ein. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3113
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 13:35: |
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Hi Katrin,
Obwohl es wahrscheinlich zu spät ist, präsentiere
ich Dir Lösungen Deiner zweiten Aufgabe.
Der bisher vorgeschlagene Lösungsweg führt nicht zum Ziel;
die Aufgabenstellung wurde offenbar missverstanden.
Ich bin erstaunt, dass das bis jetzt niemandem aufgefallen ist.
Ich zeige Dir jetzt und in einer Fortsetzung
zwei Lösungsmethoden, die der Aufgabe angepasst sind.
1.Methode
Idee:
Setze für den Punkt R auf der z-Achse an:
R(0/0/h), wobei h zu bestimmen ist.
Schreibe die Vektoren u = AR, v = BR mit ihren
Komponenten an:
u = { 6 ; 2 ; h-4 }
v = { 0 ; - 6 ; h – 6 }
Die Bedingung lautet:
die beiden Vektoren sind orthogonal (senkrecht),
daher ist ihr Skalarprodukt null, d.h.es gilt:
-12 +h^2 - 10 h + 24 = 0 oder
h^2 – 10 h + 12 = 0;
für h erhalten wir die Werte
h1 = 5 + sqrt(13), h2 = 5 – sqrt (13)
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3114
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 14:05: |
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Hi Katrin
In einer zweiten Methode benützen wir die Idee
der so genannten Thaleskugel :
gegeben sind zwei feste Punkte A und B.
Alle Punkte P des Raumes, für welche das Dreieck
APB bei P rechtwinklig ist, liegen auf der Kugel
mit AB als Durchmesser.
Wir ermitteln die Gleichung dieser Kugel und
schneiden sie mit der z-Achse.
Ausführung:
Mittelpunkt M : xM = -3, yM = 2, zM = 5
Radius r : Länge der Strecke AM ; r = sqrt(26)
Gleichung der Kugel:
(x+3)^2+(y-2)^2+(z-5)^2 = 26
Schnitt mit der z-Achse: setze x = y = 0 ->
(z-5)^2 = 13, daraus
z1 = 5 + sqrt(13)
z2 = 5 – sqrt(13)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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