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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 11:33: | 
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Hallo,
Ich fange gerade mit Integralrechnung an, und da hakt es auch schon bei mir. Möglicherweise habe ich einfach Probleme mit der Summe von Folgen, ist schon wieder ein Weilchen her, dass ich das hatte.
Anhand eines Beispiels soll der Flächeninhalt unter der kubischen Funktion x->x^3 zwischen x=0 und x=a berechnet werden. Begonnen wird damit das Intervall [0;a] in n gleich lange Teilintervalle der Länge Deltax (Dx)=a/n zu unterteilen. Dann wird zunächst die Untersumme Un berechnet.
Es fängt also an mit:
Un=Dx*[f(x*Dx) +f(1*Dx)+f(2*Dx)+...+f((n-1)*Dx)]
=Dx[(0*Dx)^3+(1*Dx)^3+(2*Dx)^3+...+((n-1)*Dx)^3]
=(Dx)^4*(0^3+1^3+2^3+...(n-1)^3)
O.k. bis hierhin ist alles klar für mich. Aber auf die nächste äquivalenz komm' ich schon nicht mehr. Es heißt dann:
=((Dx)^4*(n-1)^2*n^2)/4
Was ich daran nicht verstehe ist: wieso wird aus (n-1)^3 plötzlich (n-1)^2 und wo kommt das *n^2 her? Und wieso dann auch noch durch 4?
Ich hab' mir dann überlegt, ob (Dx)^4*(n-1)^3 vielleicht mit dem nächsten Folgeglied, also n multipliziert wird. Wenn ich dann aber (n-1)^3 *n nehme, (n-1)^3 binomischen Formel auflöse *n nehme und dann vereinfach, komme ich aber auch nicht auf *n^2 und dann weiß ich noch immer nicht, wo die 4 im Nenner herkommt? Ich weiß, das klingt jetzt sehr kompliziert und ist vielleicht auch aufwendig, das nachzuvollziehen was ich da fasele, aber bitte wenn sich jemand die Mühe machen würde, wäre ich unendlich dankbar. Ich scheitere nämlich an genau diesem Punkt auch bei all den anderen Berechnungen der Unter-bzw. Obersumme.
Bitte, bitte helft mir!!!! Ohne eure Hilfe komm' ich nicht weiter.
NS |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1765
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 11:43: |
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1³+2³ = 9
9+3³ = 36
36+4³= 100
...
fällt Dir etwas auf?
Formuliere es und beweise es durch vollständige
Induktion.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 12:10: |
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Hmmm... also ich sehe, dass 9 die Quadratzahl von 3 ist also (n+1)^2?, dass 36 die Quadratzahl von 6 ist also (n+3)^2?, dass 100 die Quadratzahl von 10 ist, also (n+6)^2? Also irgendwie komme ich auf keinen allgemeinen Ausdruck. Entweder ich sitze auf der Leitung, oder ich bin schlicht und ergreifend zu dumm für diese Welt :-( Wäre für weitere Hilfe dankbar
NS |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1767
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 12:20: |
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ja, oder
3 = 1+2
6 = 1+2+3
na?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 12:32: |
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Bestimmt ist es ganz einfach und ich ärgere mich bestimmt auch gleich tierisch, aber ich komme nicht auf den allgemeinen Ausdruck..... :-(
Aaaaaahhhhhhhhhhhhh |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1768
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 12:39: |
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1+2+3+...n = n*(n+1)/2
( Arithmetische Reihe, siehe "Kleiner Gauß" )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 12:50: |
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Ah ja, o.k. Also, sowas sehe ich einfach nicht, viel zu komplex für mich :-(
Also das wäre jetzt das und wie hilft mir das jetzt weiter bei meinem Problem? Muss ich jetzt (Dx)^4*(n-1)^3 mal n*(n+1)/2 um auf die allgemeine Formel oben zu kommen? Ich hab' das jetzt mal versucht zu machen, komme aber immer noch nicht auf die angegebene Formel. Rechenfehler? Zuerst (n-1)^3 mittels binomischer Formel auflösen, dann das ganze mal n*(n+1)/2 (vorher aufgelöst), oder wie?
Sag mal, du bist ja nun ein echter Profi: Ist es denn so, dass man nur als geborenes Mathegenie das Abitur bestehen kann? Kann das sein? Ist doch wirklich zum Mäuse melken!!!!
Hiiiilllffffeeeee!!! |
Nasupi (Nasupi)
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Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 13:32: |
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Hallo?? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 280
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 15:04: |
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Hallo Nasupi!
Es ist viel einfacher, als du es dir jetzt machst. Friedrich hat dir doch gerade erklärt, wieso 1³+...+n³=[n*(n+1)/2]² ist. Dann ist doch entsprechend 1³+...+(n-1)³=[(n-1)*n/2]²=(n-1)²*n²/4.
Und jetzt betrachte mal deine Umformung in deinem ersten Posting. Genau das fehlte dir doch noch in deiner Rechnung. Alles klar?
Ansonsten bin ich noch eine Weile online und kann dir auch noch einmal helfen.
Zu deiner letzten Frage: Du hast zwar Friedrich persönlich angesprochen, aber vielleicht tröstet es dich, wenn ich dir sage, dass du in der Integralrechnung im Moment in einer schwierigen Phase steckst. In ein, zwei Wochen - spätestens - klärt sich die ganze Sache, und dir fällt die Integralrechnung nicht schwerer als die Differentialrechnung.
Und außerdem: du hast ja auch noch uns
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 10:59: |
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Hallo Jair,
Vielen, vielen Dank für deinen hilfreichen und aufmunternden Beitrag. Ich glaube, ich habe es jetzt geschnallt und eine Nacht drüber geschlafen, sieht die Sache schon viel entspannter aus :-) Heute fällt es mir schon gar nicht mehr so schwer. Vielen Dank für deine Hilfe und den Zuspruch.
Viele Grüße
NaSupi:-) |
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