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Lange_mathe (Lange_mathe)
Neues Mitglied
Benutzername: Lange_mathe
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 18:00: | 
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Hallo
Ich habe folgendes Integral:
Integral(cos(4x)*e^(-5x))dx
Nun habe ich u=cos(4x) v'=e^(-5x) genommen. Und habe u'=-4*sin(4x) v=(-1/5)*e^-5x errechnet.
Obige Werte habe ich in die Formel u*v-Integral(u'* v)eingesetzt.
Ich komme aber leider nicht auf das gegebene Ergebnis. Habe ich u und v bzw. u' und v' falsch bestimmt?
Bitte um Lösungsweg.
Vielen Dank im Voraus.
Patrick |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 769
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 19:48: |
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Hi,
zuerst muss eine Substitution vorgenommen werden, danach wird zwei mal mittels partieller Integration weitergerechnet.
Substitution: (-5*x) = z
-5dx = dz; dx = -dz/5
-(1/5)*int((e^z)*cos(-4z/5)) = -(1/5)*int((e^z)*cos(4z/5))
(-1/5) vor das Integral, zweimal partielle Integration nach z, damit wieder cos(4z/5) im Restintegral steht, dieses mit dem linksstehenden vereinigen.
Erste partielle Integration:
u' = e^z; u = e^z
v = cos(4z/5); v' = -(4/5)*sin(4z/5)
int((e^z)*cos(4z/5))dz = (e^z)*cos(4z/5) + (4/5)*int((e^z)*sin(4z/5))dz =
das rechte Integral nochmals partiell ->
zweite partielle Integration:
u' = e^z; u = e^z
v = sin(4z/5); v' = (4/5)*cos(4z/5)
...
= (e^z)*cos(4z/5) + (4/5)*[(e^z)*sin(4z/5) - (4/5)*int((e^z)*cos(4z/5))dz] =
= (e^z)*cos(4z/5) + (4/5)*(e^z)*sin(4z/5) - (16/25)*int((e^z)*cos(4z/5))dz
Der rechtsstehende Ausdruck - (16/25)*int((e^z)*cos(4z/5))dz kann mit dem linken Integral vereinigt werden ->
(41/25)*int((e^z)*cos(4z/5))dz = (e^z)*(5*cos(4z/5) + 4*sin(4z/5)) |*5
int((e^z)*cos(4z/5))dz = (5/41)*(e^z)*(5*cos(4z/5) + 4*sin(4z/5))
Nun noch mit (-1/5) von ganz oben multiplizieren, ergibt
... = -(5*cos(4z/5) + 4*sin(4z/5))*(e^z)/41
Rücksubstitution: z = (-5*x)
.....
=> (4*sin(4x)-5*cos(4x))*e^(-5x)/41
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 770
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 20:17: |
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Du kannst die ganze Berechnung - allerdings in stark abgekürzter Form - über ein sehr praktisches Online-Tool abhandeln:
http://abakus.hawhaw.de/calc.php
In das Feld Formel gibst du ein:
exp(-5*x)*cos(4*x)
Variable: x
Integrieren wählen
Berechnen
und zuletzt auf Lösungsweg klicken.
Die ausführliche Rechnung deinerseits wird und soll dir zwar nicht erspart bleiben, aber du erhältst oft wertvolle Hinweise, wenn du in eine Sackgasse geraten bist!
Gr
mYthos
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Lange_mathe (Lange_mathe)
Junior Mitglied
Benutzername: Lange_mathe
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 13:20: |
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Hallo
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Ich habe aber noch ein Problem:
Wo ist das MINUS im zweiten cos-Ausdruck geblieben
-(1/5)*int((e^z)*cos(-4z/5)) = -(1/5)*int((e^z)*cos(4z/5)) ?
Herzlichen Dank
Patrick |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 772
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 16:38: |
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Dass diese Frage kommen wird, habe ich geahnt!
Ganz einfach, das MINUS kannst weglassen, weil der cos eines negativen Argumentes gleich dem des positiven ist!
cos(-x) = cos(x)
Gr
mYthos
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