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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 11:48: | 
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1) Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E1 auf, welche zur Ebene E:x1 + 2x2 + 2x3 - 12 =0 parallel ist, von ihr den Abstand 6 LE hat und im gleichen Halbraum liegt wie der Ursprung.
2) Zeigen Sie, dass jeder Punkt der Ebene E:2x1 - x3 - 6 = 0 von den Punkten P(8;0;0) und Q (0;0;4) jeweils den gleichen (positiven) Abstand hat.
Danke im voraus! |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 13:26: |
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Hallo Katrin,
bei a) bildest du die HNF von E indem du E durch die Länge ihres Normalenvektors dividierst, dann heißt die HNF: 1/3(x1+2x2+2x3-12)=0. Alle Punkte, die von dieser Ebene den Abstand 6 haben liegen auf den beiden Ebenen |1/3(x1+2x2+2x3-12)|=6, also 1/3(x1+2x2+2x3-12)=+-6. Die gesuchte ist diejenige mit -6, denn wenn der Punkt, dessen Abstand von der Ebene du berechnest, im selben Halbraum liegt wie 0 erscheint der Abstand negativ (hat zu tun mit dem Cosinus des Winkels zwischen Normalenvektor und Ortsvektor). Deine Ebene heißt also 1/3(x1+2x2+2x3-12)= -6 (halt jetzt zusammenfassen...)
zu 2.) Bilde wieder die HNF., die ist jetzt 1/sqrt5 (2x1-x3-6) =0. Setze die Koordinaten der beiden Punkte P und Q in die HNF ein, du erhältst einmal 10/sqrt 5 und einmal -10/sqrt 5. Dass die Abstände mit verschiedenen Vorzeichen erscheinen liegt daran, dass sie in Bezug auf 0 in verschiedenen Halbräumen liegen. |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:41: |
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Danke! Kann man das auch ohne HNF lösen?? Hatten die HNF nämlich noch nicht..  |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 22:09: |
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geht schon, aber eher umständlich: Schlachtplan: stelle eine Gerade l auf, die auf E senkrecht steht und durch 0 geht und bestimme deren Schnittpunkt F mit E. Nimm den Vektor FO und bringe ihn auf die Länge 1, multipliziere diesen Einheitsvektor mit 6 und addiere ihn zum Ortsvektor von F. Du erhältst den Ortsvektor eines Punktes T, der 6 Einheiten von E entfernt im richtigen Halbraum liegt. Nachdem du von der gesuchten Ebene nur noch die Konstante in der Gleichung brauchst kannst du diese finden, wenn du die Koordinaten von T in die Gleichung x1+2x2+2x3 -c=0 einsetzt.
Vielleicht weiß jemand eine elegantere Lösung, mir fällt im Moment keine ein... |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 721
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 02:12: |
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Für die zweite gibts ne recht einfache Lösung.
Die Ebene wird durch die Punktmenge
E={(x,y,2x-6)|x,yÎIR}
beschrieben.(Einfaches Umformen der Ebenengleichung nach x3)
Der Abstand eines Punktes X auf der Ebene zu P bzw. Q beträgt somit
|XP|=Ö((x-8)²+y²+(2x-6)²)
|XQ|=Ö(x²+y²+(2x-10)²)
Wegen (x-8)²+(2x-6)² = x²-16x+64+(2x-6)² = x²-8*(2x-6)+16+(2x-6)² = x²-((2x-6)-4)²
sind die Abstände also gleich.
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 13:02: |
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Danke! |
