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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 14:19: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E 2;-1;2)°x - 12 = 0 und die Gerade g:x= (4;-7;3) + k(-2;10;7) gegeben.
a) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden h auf, welche zur Geraden g bezüglich der Ebene E symmetrisch liegt.
b) Stellen Sie die Gleichung der mittelparallelen Geraden zu g und h auf.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 243
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 14:58: |
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Hallo Katrin,
gut, dass die Aufgabe b) dabei ist. So sieht man gleich, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft. Das kannst du bestätigen, indem du den Richtungsvektor von g mit dem Normalenvektor von E multiplizierst. Das Ergebnis ist 0.
Du benötigst nun den zu P(4;-7;3) bzgl. E symmetrischen Punkt. Ermittle dazu die Gleichung der Lotgeraden l von P auf die Ebene. Ihr Richtungsvektor ist der Normalenvektor von E, ihr Stützvektor der Ortsvektor von P.
Bestimme den Schnittpunkt S von l und E.
Addiere den Vektor ES zum Ortsvektor von S - und du erhältst den Ortsvektor zu P', dem zu P bzgl. E symmetrischen Punkt.
Die gesuchte Gerade hat nun denselben Richtungsvektor wie g und den Ortsvektor von P' als Stützvektor.
b)
Die Lösung dieser Aufgabe fällt nebenbei auch noch ab. Die Mittelparallele liegt ja auf E. Sie hat denselben Richtungsvektor wie g und den Ortsvektor von S als Stützvektor.
Alles klar? Wenn nicht, melde dich!
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:41: |
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Danke!
Nur zu a) noch eine Frage:
"Bestimme den Schnittpunkt S von l und E.
Addiere den Vektor ES zum Ortsvektor von S - und du erhältst den Ortsvektor zu P', dem zu P bzgl. E symmetrischen Punkt."
Das verstehe ich nicht so ganz.. Kannst du das noch etwas erläutern? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 250
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 19:56: |
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Sorry, es musste natürlich PS heißen statt ES. Aber noch einmal zum Verfahren:
Wie spiegelst du denn in der elementaren Geometrie. Du zeichnest eine Senkrechte zur Achse durch den Punkt, den du spiegeln möchtest. Dann misst du den Abstand von diesem Punkt zur Achse und trägst diesen Abstand auf der anderen Seite der Achse noch einmal ab. Dort liegt dann der Ergebnispunkt.
Nun, hier geht's genauso. Die Achse ist hier die ganze Ebene E. Der zu spiegelnde Punkt ist P. Du betrachtest eine Senkrechte zur Ebene E durch P, das ist die Senkrechte zur Spiegelachse. Du bestimmst den Vektor PS, das ist sozusagen der Abstand von P zur Ebene E. Du trägst diesen Vektor noch einmal von S aus ab - an der Spitze dieses Vektors liegt nun der Ergebnispunkt.
Und jetzt konkret:
l: x = (4;-7;3)+k(2;-1;2)
E: (2;-1;2)x-12=0
(x aus der 1.Zeile für x in der 2.Zeile einsetzen)
(2;-1;2)[(4;-7;3)+k(2;-1;2)]-12=0
21+9k-12=0
9k+9=0
k=-1
S hat also die Koordinaten (4;-7;3)-1(2;-1;2)=(2;-6;1)
PS=(-2;1;-2)
Addiere PS zum Ortsvektor von S:
(2;-6;1)+(-2;1;-2)=(0;-5;-1)
Der Punkt (0;-5;-1) liegt auch auf der Lotgeraden durch P, aber auf der anderen Seite von E. Und er ist genauso "weit" von S "entfernt", wie es P ist. Damit ist es der Spiegelpunkt.
Ist jetzt alles klar?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 14:21: |
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Ja, danke! |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 11:53: |
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Noch eine Frage:
Haben von unserem Lehrer bezüglich b) eine andere Lösung bekommen:
Vektor b = Vektor OB
Vektor a = Vektor OA
Vektor b = Vektor a - 2*d*Vektor n °
Kann mir jemand erklären, was d ist und wie man mit Hilfe dieser Gleichung auf den Punkt P (0;-5;-1) kommt? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 261
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 20:42: |
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Hallo Katrin,
d ist der Abstand des Punktes A von der Ebene E. Diesen Abstand kannst du mit der Abstandsformel (ausgehend von der Hesseschen Normalenform) berechnen. Wenn du den Normalen-Einheitsvektor n° mit d multiplizierst und vom Ortsvektor von A subtrahierst, stößt du genau auf den Lotfußpunkt des Lotes von A auf E. Subtrahierst du ihn dann noch einmal, erhältst du ebenfalls den Spiegelpunkt B.
Dieser Weg ist auch möglich; da wir aber sowieso schon den Lotfußpunkt berechnet hatten, ist der Weg, den ich dir gezeigt habe, wohl einfacher.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 07:42: |
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A ist doch (4;-7;3), Abstand ist d = 3.
Was ist der normalen Einheitsvektor?? Hat das irgendwas mit HNF zu tun? (Diese Form hatten wir nämlich noch nicht..) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 765
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 11:50: |
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Wenn du den Normalvektor (der Ebene) n = (2;-1;2) durch seine eigene Länge |n| dividierst, erhältst du den normierten Normalvektor, den Jair mit Normalen-Einheitsvektor bezeichnet hat. Er spielt bei der HNF die Hauptrolle, denn er ist ja in ihr praktisch enthalten:
Ebene E:
2x - y + 2z - 12 = 0 .. Normalvektorform
n = (2; -1; 2), |n| = sqrt(4 + 1 + 4) = 3
Die Gleichung der Ebene wird nun durch |n| dividiert, -> HNF
(2x - y + 2z - 12)/3 = 0 .. normierte Normalvektorform, d.i. die HNF
Wenn man jetzt in die HNF statt x,y,z die Koordinaten eines beliebigen Punktes einsetzt, erhält man den Normalabstand d dieses Punktes von der Ebene. Für P(4|-7|3) beispielsweise ist d = (8 + 7 + 6)/3 = 7
Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 99
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 08:17: |
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Danke! |
