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Textaufgabe.....*verzweiflung teil2*...

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Yushibi (Yushibi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 15:43:   Beitrag drucken

durch ft(x)=x²-t²/x²+t² (tER+) ist eine Funktionenschar gegeben...1) was ist eine Funktionenschar??? Kt sei das SChaubild von ft.

a) zeichne K1 und K0,5 in dasselbe Koordinatensystem ein (LE 2cm). (wie kann ich hier graphisch darstellen, dass die 1 nach untengestellt sein muss?? find die taste auf meinem keyboard nicht..)

was genau ist denn K1 und woher weiß ich wie ich sie zeichnen muss, bzw. K0,5??

b) zeige, dass alle kurven Kt einen unkt A gemeinsam haben. gibt die koordinaten von A an....

c) das schaubild einer ganzrationalen funktion gt zweiten grades berührt Kt in A und besitzt dieselben schnittpunkte mit der x-achse wie Kt. Ermittle gt(x). gibt es einen wert von t, für den das schaubild von gt das schaubild kt in den schnittpunkten mit der x-achse berührt?? ..*sorrynichtsverstanden*

bitte bitte erklärt mir mal jemand was genau die einzelnen dinge sind, warum man sie braucht und wie man sie bekommt??? *...* ich weiß garnicht wo ich anfangen soll..

viele liebe grüße,

yushibi
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Häslein (Häslein)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:38:   Beitrag drucken

Hallo Yushibi,

eine Schar ist eine "Menge" von mehreren Funktionen. All diese Funktionen haben je nach Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von (in diesem Fall) t bestimmte Eigenschaften gemeinsam. Eine solche Gemeinsamkeit könnte z.B. ein Tiefpunkt sein oder eine Nullstelle. Diese Menge von Funktionen ergibt sich eben genau daraus, dass du für das t E IR+ unterschiedliche Werte (des IR+) einsetzen kannst.

Setzt du z.B. für t=1 ein, so erhältst du als Funktion f1(x)=x²-1/x²+ 1 usw.

a) Genau das, was ich gerade getan habe, tust du nun für t=1 und t=0,5. Dann erhältst du zwei unterschiedliche Funktionterme, die du ganz normal zeichnen kannst. Bei diesem Zeichnen wird dir dann auffallen, dass die Funktionen sich an bestimmten Stellen ziemlich ähnlich sehen werden oder teilweise eben gleich sind.
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Häslein (Häslein)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 17:50:   Beitrag drucken

Dann mache ich mal gerade weiter, wenn sich sonst keiner erbarmt: Bei b) beweist man normalweise einen allgemeinen Fall. Prinzipiell könntest du hingehen und dir zwei Graphen raussuchen und diese gleichsetzen. Dann wirst du einen gemeinsamen Punkt beim Lösen des Systems bekommen. Falsch wäre diese Lösung nicht, sie ist aber eher ungern gesehen. Deshalb setzt du für t am besten einmal t1 und einmal t2 ein und setzt die beiden Gleichungen gleich. Auch dann wirst du den gesuchten gemeinsamen Punkt herausfinden.

So, ich hoffe, damit konntest du schon mal was anfangen. Bei Fragen posten!
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Yushibi (Yushibi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 16:15:   Beitrag drucken

ok ich hab das jetzt beides, also auch 0,5 in die gleichung eingesetzt...aber wie kann ich das denn jetzt zeichnen?? und was bedeutet LE 2cm...??

viele liebe grüße,

yushibi
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Häslein (Häslein)
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Benutzername: Häslein

Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:02:   Beitrag drucken

Also, deine Gleichungen lauten jetzt:
f1(x)=x²-1/x²+1
f0,5(x)=x²-(0,5)²/x²+(0,5)²

Um jetzt die beiden Graphen zu zeichnen, tust du genau das, was man immer tut, wenn man einen Graphen einer Funktion zeichnen möchte: Du setzt verschiedene Werte für x ein und erhältst einen y-Wert. D.h. du suchst dir auf der x-Achse die Zahl, die du eingesetzt hast, und gehst auf der y-Achse soweit, bis du das Ergebnis errsicht hast.

Z.B. erhältst du für x=1 Folgendes:

f1(x)=1-1/1+1=0 ;
d.h. x=1 und y=0

bei der anderen Funktion erhältst du:

f0,5(x)=(1-0,25)/(1+0,25)=0,75/1,25=0,6 ;
d.h. x=1 und y=0,6

Das machst du nun für verschiedene Werte von x, die du immer wieder einzeichnest. so erhältst du nach und nach einen Graphen.

LE=2cm bedeutet, dass die Längeneinheit auf den beiden Achsen nicht wie gewohnt 1cm, sondern eben 2cm ist. Das heißt, wenn du dein Koordinatensystem einzeichnest, dann lässt du auf den beiden Achsen von einer zur nächsten Zahl 2cm Platz. Dann wird das Schaubild insgesamt vergrößert.

Und noch etwas: An meinen beiden Zahlenbeispielen von oben kannst du nun schon sehen, dass diese beiden Funktionen zwar zur selben Schar gehören, aber an der Stelle x=1 unterschiedliche Werte haben. In deiner Zeichnung wirst du dies noch besser erkennen können, da dort der Grap von f0,5(x) über dem anderen liegen wird.


Liebe Grüße
Jasmin}
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Yushibi (Yushibi)
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Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:18:   Beitrag drucken

also ich hab das für die erste gleichung versucht und jeweils 1, 2, 3, 4, und 5 eingesetzt...als y-werte krieg ich da 0; 0,6; 0,8; 0,882 und 0,923 raus...das liegt doch aber alles so nah bei ein ander und auf dem Graphen sieht man kaum eine steigung.es geht ja nicht mal über 1..ist das trotzdem richtig?? (sorry wahrscheinlich ne blöde frage, aber ich bin verunsichert)
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Yushibi (Yushibi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:29:   Beitrag drucken

ok ich hab beide funktionen gezeichnet und sieht richtig aus:-) *freu*...naja aber jetzt bin ich doch überführt..ich weiß nicht, wie ich funktionen gleich setzen kann....*rotwerd*

wie muss ich das machen, für t einmal t1 und einmal t2 einsetzen?
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 760
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 20:42:   Beitrag drucken

Hi,

du musst dich nicht genieren, denn so einfach ist dies wiederum auch nicht.

Bis jetzt ist allerdings nicht zu erkennen, ob in der Angabe eventuell nicht Klammern fehlen???

Heisst es nun
ft(x)= x² - t²/x² + t² oder
ft(x)= (x² - t²)/(x² + t²) ??

So wie die Angabe aufgeschrieben ist, wär's gleich der ersten Zeile! Also seht ihr, wie wichtig das Klammernsetzen ist!

Ich rechne's dennoch mal für den 2. Fall durch:

Du nimmst zwei verschiedene t aus R+, also t1 und t2 mit t1 <> t2, setzt beide je in ft(x) ein, und ermittelst durch Gleichsetzen und Auflösen nach x einen etwaigen gemeinsamen Punkt aller Kurven dieser Schar. Falls es ihn gibt, wird er unabhängig vom Paramter t sein.

ft1(x)= (x² - t1²)/(x² + t1²)
ft2(x)= (x² - t2²)/(x² + t2²)
---------------------------------------------
ft1(x) = ft2(x) !
-->
(x² - t1²)*(x² + t2²) = (x² - t2²)*(x² + t1²)
x^4 + x²(t2² - t1²) - t1²t2² = x^4 - x²(t2² - t1²) - t1²t2² | -x^4 + t1*t2
2*x²(t2² - t1²) = 0 | : (t2² - t1²) <> 0
x1,2 = 0
°°°°°°°°°
das ist der x-Wert des allen Kurven der Schar gemeinsamen Punktes! Der Funktionswert lautet ft(0) = -1 [in ft(x) statt x = 0 einsetzen!]

Der gemeinsame Punkt aller Kurven der Schar lautet somit A (0|-1). Wegen der Doppellösung ist er gleichzeitig ein Extremwert (Minimum).
Möchtest du eine Grafik dieser Schar?

-----------------------------------------

Im anderen (ersten) Fall:

ft1(x)= x² - t1²/x² + t1²
ft2(x)= x² - t2²/x² + t2²
-------------------------

Gleichsetzen und Auflösen nach x ..

x² - t1²/x² + t1² = x² - t2²/x² + t2² |-x² |*x²
-t1² + x²*t1² = -t2² + x²*t2²
x²*(t1² - t2²) = t1² - t2² | : (t1² - t2²) <> 0
x² = 1
x1 = 1, x2 = -1
°°°°°°°°°°°°°°°
das sind die x-Werte der beiden allen y-symmetrischen Kurven der Schar gemeinsamen Punkte! Die Funktionswerte lauten ft(1) = 0 bzw. ft(-1) = 0 [in ft(x) statt x = 1 bzw. -1 einsetzen!]

Die beiden Punkte lauten A1 (1|0) und A2(-1/0)

Gr
mYthos


(Beitrag nachträglich am 19., November. 2003 von mythos2002 editiert)
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Yushibi (Yushibi)
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Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 21:34:   Beitrag drucken

hey:-) danke mythos für deine ausführliche beschreibung..also ich hab die beiden kurven gezeichnet und es kommt alles so hin, dass -1 der extrem-minimum wert ist.

...aber weißt du was ich mit frage c anfangen kann? mittlerweile habe ich mir schon überlegt, dass dieser besagte graph einfach eine parallele zur x-achse darstellt, weil er NUR durch diesen punkt a geht...aber ich weiß nicht genau..kannst du mir aufgabe c) noch erklären? das wäre total lieb..

viele liebe grüße,

yushibi
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 260
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 22:10:   Beitrag drucken

Hallo Yushibi!
Zunächst mal wissen wir über gt ja nur, dass sie eine ganzrat.Funktion 2. Grades ist. Das bedeutet, dass man ihre Gleichung ganz allgemein schreiben kann als
gt(x)=ax²+bx+c
Unsere Aufgabe ist es, a, b und c herauszubringen.
Dazu betrachten wir die gegebenen Informationen:
"gt berührt Kt in A"
Das bedeutet: gt und Kt haben dort einen gemeinsamen Punkt, und außerdem ist ihre Steigung dort gleich.
Den Punkt A hast du ja in Aufgabe b erhalten:
A (0;-1)
Wenn du seinen x-Wert 0 in die Gleichung von gt einsetzt, muss -1 herauskommen.
Also
gt(0)=0*a+0*b+c = -1
Also muss c = -1 gelten.
Nun ist auch noch die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich. Mythos hat herausgefunden, dass A ein Tiefpunkt des Graphen ist. Dann ist also die erste Ableitung der zugehörigen Funktion an dieser Stelle 0. Und auch gt'(x) muss an dieser Stelle 0 sein.
gt'(x)= 2ax + b
gt'(0)= 2a*0 + b = 0
Also muss b = 0 sein.
Jetzt bleiben uns noch die Schnittstellen mit der x-Achse; das sind die Nullstellen der Funktionen ft.
ft(x)=(x²-t²)/(x²+t²).
Die Nullstellen von ft sind die Nullstellen des Zählers:
x²-t²=0 <=> x=t Ú x=-t
Unsere Funktion gt(x) muss also durch (t;0) (und (-t;0)) gehen.
Also gt(t) = 0
at²+bt+c=0
Nun ist b=0 und c=-1.
at²-1 = 0
at² = 1
a = 1/t²
Also gt(x)=(1/t²)x² - 1
(Die 2. Nullstelle bei -t ergibt sich automatisch, weil gt symmetrisch bzgl. der y-Achse ist.)
Nun fehlt noch die Zusatzfrage. Ich übersetze sie mal so:
Gibt es eine Funktion gt, deren Graph an der Nullstelle x=t dieselbe Steigung hat wie Kt, der Graph von ft?
Naja, berechnen wir mal die 1. Ableitung von gt.
gt'(x)=(2/t²)x
gt(t)=(2/t²)*t=2/t
Kann nun ft'(t) auch 2/t sein?
Dazu berechnen wir ft'(x) allgemein:
ft'(x)=(2x(x²+t²)-2x(x²-t²))/(x²+t²)²
ft'(x)=4xt²/(x²+t²)²
Für x=t:
ft'(t)=4t3/t8
ft'(t)=2/t <=>
4t3/t8=2/t <=>
4t4/t8=2 <=>
4/t4=2 <=>
t4=2 <=>
t = ±4Ö2
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 761
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 22:45:   Beitrag drucken

Nachdem Jair den Punkt c) so ausführlich behandelt hat, setze ich zur Verdeutlichung des Sachverhaltes noch je eine Grafik von ft(x) und gt(x) hinzu.

Gr
mYthos
Kurvenschar13a
Kurvenschar13b
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Yushibi (Yushibi)
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Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 22:55:   Beitrag drucken

wow...danke dass du dir so viel arbeit gemacht hast jair...aber ich hab das mit den nullstellen nicht ganz nachvollziehen können...

also erstmal klar. man muss a, b und c rauskriegen..c=-1 hab ich verstanden, b=0 meine ich auch zu verstehen (man setzt doch gt'(x) mit gt'(0) gleich, weil die sich im punkt A treffen, oder?)
aber wie gesagt, die Nullstellen..das versteh ich noch nicht..aus folgendem abschnitt werd ich nicht schlau..
----------------
Die Nullstellen von ft sind die Nullstellen des Zählers:
x²-t²=0 <=> x=t Ú x=-t
Unsere Funktion gt(x) muss also durch (t;0) (und (-t;0)) gehen.
Also gt(t) = 0
at²+bt+c=0
Nun ist b=0 und c=-1.
at²-1 = 0
at² = 1
a = 1/t²
Also gt(x)=(1/t²)x² - 1
--------------------------

naja und der rest macht dann erstmal keinen sinn für mich *sniff*...könntest du das vielleicht noch anders erklären?

viele liebe grüße, Yushibi

(falls du schon schlafen bist, trotzdem danke für den anfang, bis zu einem gewissen maße kann ich es ja alles noch nachvollziehen :-) )

viele liebe grüße,

yushibi
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Yushibi (Yushibi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Yushibi

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 22:59:   Beitrag drucken

@mythos :-)

wow ich hab grad erst die grafiken gesehen! ich bin echt beeindruckt!!! genauso wie die erste abbildung sah meine zeichnung hier auch aus :-) !! (nur nicht mit so vielen farben und verschiedenen funktionen...und ein wenig mickeriger...)

echt cool mythos!!!

yushibi

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