Matrix

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Autor Beitrag   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 297 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 13:38:    hi, wozu brauch man eigentlich matrizen, was kann man damit berechnen und wie? z.B. -4 0 0 -4 was könnte damit angegeben werden und wie berechnet man diese matrix? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 842 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 14:06:    Hi! Eine Matrix selbst berechnet man nicht, sondern man nutzt sie, um bestimmte "Dinge" zu berechnen. Deine Beispielmatrix könnte die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten sein. Wenn es ein inhomogenes ist, also die Form hat: -4x + 0*y = a und 0*x + 4*y = b, dann können wir feststellen, ob es lösbar ist, wenn wir die Determinante deiner Beispielmatrix berechnen. Die ist (-4)*(-4)-0 = 16 <> 0, also hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Eine andere Bedeutung erhält diese Matrix, wenn man sie mit einem Vektor mulitpliziert. Nehmen wir doch mal den Vektor v=(3,2). Nun multiplizieren wir deine Matrix M mit v: v' = M*v = (-4*3, -4*2) = (-12, -8) Wenn wir uns die beiden Ortsvektoren v und v' aufmalen, dann sehen wir, dass v' aus v hervorgeht, indem man v um 180° um (0/0) dreht und ihn in x- und y-Richtung jeweils um den Faktor 4 streckt. Das kann man auch direkt an der Matrix ablesen. Das waren jetzt mal zwei Anwendungen, die mir auf Anhieb eingefallen sind. Aber insgesamt kann man sich ziemlich lange mit Matrizen beschäftigen, weil man sie in vielen verschiedenen Abarten betrachten kann, je nachdem, welche Einträge man zulässt. Kann ziemlich interessant werden... MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 298 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 12:12:    jo, super! kann man das gleichungssystem mit hilfe von matrizen jetzt auch lösen und nicht nur feststellen, ob es eine eindeutige lösung gibt? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 850 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 13:07:    Ja, kann man! Nehmen wir mal das LGS: -4x + 0y = 1 0x - 4y = 2 Wir bilden mal die erweiterte Koeffizientenmatrix M: M' = -4 0 1 0 -4 2 Die Koeffizientenmatrix M erhalten wir, indem wir indem wir die letzte Spalte weglassen: M = -4 0 0 -4 Dann bilden wir die beiden Matrizen Mx und My, die entstehen, wenn man die x- bzw. y-Spalte weglässt: Mx = 0 1 -4 2 My = -4 1 0 2 Nun berechnen wir zu den drei quadratischen Matrizen die Determinanten: D = det M = 16 Dx = det Mx = 4 Dy = det My = -8 Wenn nun D=0 und Dx=0, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn D=0 und Dx<>0, dann gibt es keine Lösung. Und schließlich gibt es genau eine Lösung, wenn D<>0, und die lautet: x = Dx / D = 4 / 16 = 1/4 y = Dy / D = -8 / 16 = -1/2 Ich hoffe, das Verfahren ist jetzt klar. Übrigens sieht man hier gut, dass homogene Gleichungssysteme, also solche, bei denen rechts vom Gleichheitszeichen nur Nullen stehen, immer lösbar sind, da sie immer die triviale Lösung (0,...,0) haben. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 300 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 14:45:    hi, jo,..ich denke ich habe das verfahren verstanden, jedoch ist mir das letzte nicht ganz klar! rechts vom gleichheitszeichen... wann, wo ist das 0?? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 851 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 17:09:    Ich meinte beim: ax + by = c das c. Wenn du also hast: -4x + 0y = 0 0x - 4y = 0 dann kannst du davon ausgehen, dass x=0 und y=0 eine Lösung ist. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 302 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 17:30:    axo,....ok! wann ist denn eine matrix nicht definiert und warum ist sie das dann nicht? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 852 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 17:48:    Warum sollte eine Matrix nicht definiert sein? Vielleicht, wenn einer ihrer Einträge nicht definiert ist. Sagen wir mal du hast eine Matrix wie: 2 1/a 1/a 4 Dann ist die Matrix für a=0 natürlich nicht definiert. Bei konstanten Einträgen kann man aber schlecht von Definiertheit oder Nichtdefiniertheit sprechen... MfG Martin (Beitrag nachträglich am 09., November. 2003 von Martin243 editiert) ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 304 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 16:32:    wir hatten in unserem buch solch eine frage... ansonsten sind alle matrizen definiert? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 854 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 16:48:    Die Frage ist mir irgendwie nicht geheuer... Man definiert selbst Matrizen mit der Bildungsvorschrift ihrer Einträge, also wie sollten Matrizen nicht definiert sein? Kannst du vielleicht den Zusammenhang nennen? Oder die genaue Frage? Oder etwas anderes Hilfreiches? MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 305 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 18:12:    ich kann es nicht mehr genau sagen, aber die aufgabe war, zu untersuchen ob die matrix definiert sei! 0 -4 -4 0 mehr war das nicht??? detlef   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 306 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 10:48:    wie kann man denn bestimmen, ob eine matrix quadratisch ist und ob sie dann mit einer determinate lösbar ist?? detlef   Martin243 (Martin243) Senior Mitglied Benutzername: Martin243 Nummer des Beitrags: 859 Registriert: 02-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 12:07:    Eine Matrix ist quadratisch, wenn sie genauso viele Spalten wie Zeilen hat, denn ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn alle Seiten gleichlang sind. Und man kann eine Matrix nicht lösen. Man kann höchstens ihre Determinante bestimmen. Und eine Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei   Sotux (Sotux) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux Nummer des Beitrags: 139 Registriert: 04-2003 Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 22:27:    Übrigens ist die Matrix negativ definit, vielleicht war das eher die Frage.   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 307 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 12:52:    wie definiert man denn so eine matrix?? oder wie erkennt man das?? das prinzip ist mir nicht klar? detlef   Sotux (Sotux) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux Nummer des Beitrags: 142 Registriert: 04-2003 Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. November, 2003 - 22:03:    Hi Detlef, definit wird eine relle symmetrische Matrix A genannt, bei der alle Eigenwerte das gleiche Vorzeichen haben, also alle positiv oder alle negativ sind. Du kannst es dir in etwa so vorstellen, dass die Bilder Ax aller Vektoren x in eine ähnliche Richtung wie x gehen (oder alle eher umgedreht werden), genauer: positiv definit bedeutet, dass das Skalarprodukt (x,Ax)>0 und negativ definit, dass (x,Ax)<0 für alle x!= 0 Die einfachste Form (und auch die Normalform) einer positiv definiten Matrix ist eine Diagonalmatrix mit positiven Werten auf der Hauptdiagonale.   Detlef01 (Detlef01) Erfahrenes Mitglied Benutzername: Detlef01 Nummer des Beitrags: 314 Registriert: 01-2003 Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 16:49:    was soll eigentlich dieses skalarprodukt, das habe ich auch schon nicht verstanden, welche beziehung hat das zu matrizen? detlef

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