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Krümmel (Krümmel)
Junior Mitglied
Benutzername: Krümmel
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 07:06: | 
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Hallo!!
Ich hoffe jemand von Euch kann mir weiterhelfen, ich sitz hier vor meinen Aufgaben, und da haben sich für mich ein paar Fragen aufgetan.
1. Wie kann man aus der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl entnehmen, ob sie rational oder irrational ist?
2. Betrachten Sie die Summe sn = 2 + 4 + 6 +......+ 2*n, n E N/0, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahl. Berechnen Sie s1, s2, s3, ....solange, bis Sie einen allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.
3. Gegeben sind die arithmetischen Folgen (an) und (bn). Weisen Sie nach, dass die Folge (an + k * bn) ebenfalls eine arithmetische Folge ist, wobei k irgendeine reelle Zahl sein soll.
4. Kann mir jemand erklären, wie ich auf den Grenzwert komme?
a.) an = 1/n+1 (1 geteilt durch Wurzel aus n + 1)
b.) an = n2+1/3n2 +7
5. Beweisen Sie den folgenden Satz durch vollständige Induktion:
Seien a1 das Anfangsglied und q der (konstante) Quotient einer geometrischen Folge. Dann gilt für das n-te Glied: an: an= a1 * q hoch n-1
Lösung:
I. Induktionsanfang: A(1), d.h. a1 = a1 * q hoch1-1 = a1 Gültigkeit von Bedingung I offensichtlich
II. Induktionsvoraussetzung: A(k), d.h. ak = a1 * q hoch k-1
Zu zeigen: A(k+1), d.h. a(k+1) = a1 * q hoch(k+1)-1 = a1 * q hoch k
Nachweis: Nach Definition der geometrischen Folge gilt:
a(k+1) : ak = q, also a(k+1) = q * ak Nach einsetzen der Induktionsvoraussetzung gilt: a(k+1) = q * a1 * q hoch k-1
Meine Frage: Ist meine Lösung soweit richtig, und wie geht’s weiter, ich kann die letzte Gleichung einfach nicht lösen.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Zu Aufgabe 1 und 3 würden mir auch schon Denkanstösse weiterhelfen (denk ich zumindest  )
Grüßle Andrea
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 741
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 09:57: |
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1.
Wenn aus den Nachkommastellen irgendwann (ab einer bestimmten Stelle) eine Periode erkennbar ist, z.B. 0,235722887228872288.... liegt ein sogenannter unendlicher Dezimalbruch vor, also eine rationale Zahl (im Beispiel ist es der Bruch 2619117/11111000). Existiert keine Periode, wie z.B. bei pi = 3,141592653589793238462643383279 ..... oder Wurzel(2) = 1,414213562373095048801688724209 ..., liegt eine irrationale bzw. transzedente Zahl vor.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 742
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 11:37: |
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2.
s1 = 2
s2 = 4
s3 = 6
s4 = 8
....
sn = 2n
3.
a_n = a1 + (n-1)*d1
b_n = b1 + (n-1)*d2
---------------------
c_n = a_n + k*b_n
c_n = a1 + (n-1)*d1 + k*b1 + k*(n-1)*d2 =
= a1 + k*b1 + (n-1)*(d1 + k*d2)
Die neue Folge c_n hat als erstes Glied c1 = a1 + k*b1 und als Differenz d3 = d1 + k*d2.
c_n = c1 + (n-1)*d3 ist somit ene arithmetische Folge
4.
a)
lim [n -> oo] [1/sqrt(n+1)] = 0, weil der Nenner über alle Grenzen geht.
b)
soll n2 gleich n² bedeuten?
a_n = (n²+1)/(3n²+7)
dividiere Zähler und Nenner des Bruches durch n², dann erhältst du Teilfolgen der Form 1/n², die Nullfolgen sind:
lim [n -> oo]a_n = lim [n -> oo][(1 + 1/n²)/(3 + 7/n²)] = 1/3, da lim [n -> oo][1/n²] = 0
5.
Der Induktionsbeweis ist im Wesentlichen richtig.
Könnte auch so ablaufen:
...
a_k = a1*q^(k-1) sei richtig für k (Induktionsvoraussetzung), daraus soll die Richtigkeit für k+1 folgen:
k -> k+1
a_(k+1) = a1*q^k
weil a_(k+1) = a_k * q gilt, setzen wir das links ein:
a_k*q = a1*q^k, für a_k nun die Induktionsvoraussetzung
a1*q^(k-1)*q = a1*q^k
a1*q^k = a1*q^k, was zu zeigen war
Gr
mYthos
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Krümmel (Krümmel)
Junior Mitglied
Benutzername: Krümmel
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 05:23: |
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Vielen liebe Dank für Deine Hilfe, ich denke mal das ich jetzt weiterkomme!!!Und auch danke das Du so schnell geantwortet hast!!!
Gruß Andrea |
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