| Autor |
Beitrag |
    
Lydias (Lydias)
Neues Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 12:40: | 
|
Hallo!
Ich weiß nicht ob mein Ergebnis richtig ist, vielleicht mir jemand helfen es zu bestätigen oder zu korrigieren.
Gegen sind die Ebenen E1 und E1 im R3 durch die linearen Gleichungen
E1: x +y +z = b
E2: ax+2y+2z = 0
a) Unter welchen Bedingungen an a und b Element R schneiden sich die Ebenen?
b) Für den Fall das sich die Ebenen in einer Geraden schneiden, gebe man eine Parameterform der Schnittgeraden an.
Meine Ergebnisse:
a)
a≠2 ; b kann beliebig gewählt werden
b)
s: ( 2b / (a-2), 1 (beliebig gewählt), b – t1 –t2) + R (0, a-2 , 2-a)
T ist Trägerpunkt (t1, t2, t3)
Ich habe das Kreuzprodukt der Normalenvektoren genommen um den Richtungsvektor der Gerade zu erhalten. T habe ich über ein Ünterbestimmtes LS erhalten.
Ist das so korrekt ?
Wäre für Hilfe dankbar!
Viele Grüße
Lydia
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2934
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 14:02: |
|
Hi Lydia
Wir bilden das Vektorprodukt n der Normalenvektoren der
Ebenen u ={1;1;1}, v = {a;2;2} .
Resultat: n = u x v = {0; a-2; 2-a}; n ist ein Richtungsvektor
der Schnittgeraden.
a)
Damit eine Schnittgerade s existiert, muss n vom Nullvektor
verschieden sein; dies ist der Fall für a NICHT 2.
Da die erste Koordinate von n null ist, ist s zur
(y,z)-Ebene parallel.
b)
Wir bestimmen einen Punkt S der Schnittgeraden.
S möge in der (x,y)- Ebene liegen.
Wir setzen in den Ebenengleichungen je z = 0 und erhalten
das Gleichungssystem
x + y = b
a x + 2 y = 0
Die Determinante D dieses Systems ist D = 2 – a.
Da D nach Voraussetzung nicht null ist, hat das System
stets genau eine Lösung.
Die Lösung lautet
x = xS = 2b / (2 - a), y = yS = - ab / (2 – a), ferner z = zS = 0.
Jetzt können wir die Gleichung von s in Parameterform anschreiben;
mit t als Parameter lautet sie Koordinate um Koordinate für
den laufenden Punkt P(x/y/z):
x = 2b / (2 - a)
y = - ab / (2 - a) + (a - 2) * t
z= (2 - a) * t
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Lydias (Lydias)
Neues Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 18:42: |
|
Hallo!
Danke für die Antwort! Ich hätte jedoch noch ein paar Fragen:
1) Was bedeutet das t ?
2) Wenn ich a=0, b=0 und den Richtungswektor mit 1 mulitipliziere liegen die Punkte nicht in den beiden Ebenen. (Das ergibt doch den Punkt (0,0,2)?)
3) Wenn ich a=1 setze erhalte ich bei der y Koordinate eine Division durch 0!
Ich wäre dir dankbar wenn du dir diese Fragen noch klären könntest
Lydia |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2936
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 20:20: |
|
Hi Lydia,
Es ist gut, dass Du Rückfragen stellst.
Ich habe meine Arbeit kontrolliert: die Berechnungen
sollten stimmen.
t ist der Parameter in der Geradengleichung, die ich in der
Form dreier skalarer Gleichungen geschrieben habe: x = …, y = z =….
Wenn t alle reellen Zahlen von minus unendlich bis plus unendlich
durchläuft, so durchläuft P(x/y/z) die ganze Schnittgerade s.
Wenn Du a = 0 und b = 0 wählst, was nicht verboten ist,
so lautet die Gleichung der ersten Ebene x + y + z = 0 ,
das ist eine Ebene durch O senkrecht zum Vektor
v* = {1;1;1}.
Die zweite Ebene ist y + z = 0 ; diese Ebene
steht senkrechte zur (y,z)-Ebene durch die x-Achse.
Wegen y + z = 0 wird aus der ersten Gleichung sogar
x = 0, d.h s liegt in der (y,z)-Ebene.
Die drei genannten Parametergleichungen geben für diesen
Sonderfall:
x = 0 (wie es für eine Gerade in der (y, z)-Ebene sein muss.
y = - 2 t
z = 2 t
Alles ist in bester Ordnung.
Für a = 1 wird kein Nenner null!
Hoffentlich ist Einiges klarer geworden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
