| Autor |
Beitrag |
    
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 11:38: | 
|
Hallo ihr,
Ich bins und habe eine neue Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet
Spieler Thomas zahlt 1 Euro Einsatz und wirft drei Laplace-Würfel.
Erscheint dabei die 6 genau ein-, zwei bzw. dreimal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von einem bzw. zwei oder drei Euro. Erscheint keine 6, so ist der einsatz verloren.
a) Weise nach, dass das Spiel nicht fair ist!
b) Ändern sie das Spiel so, dass es fair wird.
bei b) habe ich noch mehr Probleme als bei a).
|
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 13:43: |
|
Hallo Avril,
du berechnest den Erwartungswert der Zufallsgröße, die den Gewinn des Spielers zählt. Die nimmt folgende Werte an: 1€ (wenn eine 6 fällt), 2€( wenn 2 Sechsen fallen), 3€ (wenn 3 Sechsen fallen) und -1€ (wenn keine 6 fällt). Der Wert 1€ wird angenommen mit der Wahrscheinlichkeit (3 über 1)*1/6*(5/6)^2 = 0,3472 (auf 4 Dez gerundet), du kannst den Wert auch in einer Tabelle für Binomialverteilung nachsehen. Entsprechend sind die Wahrscheinlichkeiten für 2€ 0,0694 und für 3€ 0,0046. Für den Erwartungswert multiplizierst du jeden Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst die Produkte. Dabei erhältst du das Ergebnis 0,4998. Das bedeutet: auf lange Sicht verliert der Spieler, denn er erhält im Schnitt pro Spiel knapp 50 ct Gewinn, zahlt aber einen Einsatz von 1 €.
Fair wäre das Spiel, wenn der zu erwartende Gewinn ebenso hoch wäre wie der Einsatz. Es müsste also ein Einsatz von lediglich 50 ct verlangt werden. |
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:19: |
|
Danke erst ein mal für deine Mühe!!!
allerdings habe ich das etwas anders ausprobiert...
Ich glaube, du hast überlesen, dass Lars den Einsatz von 1 Euro jedes Mal zurück enthält (außer wenn er keien 6 wirft)!? Kann das sein, denn ich habe nun 0,92 Euro als Gewinn heraus.
??????
bei b) weiß ich jetzt Bescheid
Kannst du (oder jemand anderes)mir gleich vielleicht noch mal bei folgendem Problem weiterhelfen:
hierbei habe ich auch den zurückenthaltenen Einsatz nicht mit einbezogen
P für -1 Euro (sprich kein Treffer)ist 125/216, P für 1 Euro (1 Treffer) ist 75/216, P für 2 Euro (2Treffer)ist 15/216 und P für 3 Euro(3 Treffer) ist 1/216!
wieso?????
Mit Treffer meine ich die 6 zu würfeln.
Brauche hier dringend Hilfe!!
|
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:27: |
|
hast du verstanden, was ich meine??????
vielleicht habe ich mich auch nicht so präzise asugedrückt??
Helft mir bitte!! |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 11:51: |
|
hallo Avril,
ich denke, meine Lösung war schon richtig. Meine Zufallsgröße zählt den REINGEWINN des Spielers - wenn er seine Einsatz zurückbekommt und noch 3 €, so hat er einen Gewinn von 3€, wenn er seinen Einsatz nicht zurückerhalten würde, hätte er ja de facto nur 2€ gutgemacht. Wenn er verliert,so verliert er seinen Einsatz, also hat er einem "Gewinn" von
- 1€.
Zu deinem letzten Eintrag: deine Wahrscheinlichkeiten stimmen - wenn du deine Brüche dezimal schreibst erhältst du dieselben wie ich - es ist nur eine andere Berechnungsweise. |
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 11:37: |
|
"wenn er seine Einsatz zurückbekommt und noch 3 €, so hat er einen Gewinn von 3€, wenn er seinen Einsatz nicht zurückerhalten würde, hätte er ja de facto nur 2€ gutgemacht."
das habe ich nicht ganz verstanden, aber meinst du, dass du bei deinem TATSÄCHLICHEN GEWINN die Einzahlung von der Auszahlung subtrahiert hast!????
wie komme ich auf die Brüche ohne das dezimal auszurechnen ????
mfg, Avril |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 14:24: |
|
also: zunächst muss ich mal einen Fehler korrigieren: Bei der Berechnung des Erwartungswerts habe ich unterschlagen, dass Thomas mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5788 1€ verliert, nämlich dann wenn er keine 6 würfelt. Die Zufallsgröße nimmt also dann auch den Wert -1 an.
Ich erklärs nochmal anders: du musst unterscheiden zwischen Auszahlung und Gewinn. Ausgezahlt werden Beträge von 1€, 2€ oder 3€. Der Gewinn des Spielers ist aber die Summe, die er nach dem Spiel mehr in der Tasche hat als vorher. Wenn er 2€ ausgezahlt bekommt und vorher 1€ gesetzt hat, hat er ja nur 1€ mehr als vor dem Spiel.
Meine Zufallsgröße zählt nun den Gewinn, also die Differenz zwischen Auszahlung und Reingewinn. Wenn das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert dafür Null sein. Diese Zufallsgröße nimmt nun die Werte 1, 2, 3 und -1 an und zwar jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3472, 0,0694, 0,0046 und 0,5788 ( = 1-(0,3472+0,0694+0,0046). Damit ergibt sich der Erwartungswert -0,079. Der Spieler verliert also im Schnitt pro Spiel knapp 8 ct. Die subtrahieren wir vom Einsatz, wenn wir das Spiel fair machen wollen.
Die Brüche ergeben sich, wenn du die Würfelei nicht als Bernoullikette sondern als Laplace-Experiment ansiehst. Du hast 3 Würfel, macht insgesamt 216 mögliche Ergebnisse (stell dir der Einfachheit halber die Würfel verschiedenfarbig vor). Um 3 Sechsen zu würfeln gibt es eine einzige Möglichkeit, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1/216. Um 2 Sechsen zu würfeln hast du zunächst 3 Möglichkeiten, welcher Würfel keine 6 würfelt und weiter 5 Möglichkeiten, was er würfeln kann. Macht zusammen 15 Möglichkeiten.Die Wahrscheinlichkeit für 2 Sechsen ist also 15/216. Für eine Sechs gibt es 3 Möglichkeiten, welcher Würfel sie zeigen soll und dann 5 mal 5 Möglichkeiten was die beiden anderen Würfel zeigen, also insgesamt 3mal 25=75 Möglichkeiten, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit 75/216. |
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 13:15: |
|
okay, dann haben wir ja schon mal das gleiche Ergebnis! (0,92 Euro oder 8 ct)
ich denke, dass nun mit der Auszahlung und dem Gewinn verstanden zu haben! Vielen Dank, dass du es noch mal erklärt hast!
bei den Brüchen bin ich jedoch noch nicht schlauer...
"Um 2 Sechsen zu würfeln hast du zunächst 3 Möglichkeiten, welcher Würfel keine 6 würfelt und weiter 5 Möglichkeiten, was er würfeln kann. Macht zusammen 15 Möglichkeiten.Die Wahrscheinlichkeit für 2 Sechsen ist also 15/216. Für eine Sechs gibt es 3 Möglichkeiten, welcher Würfel sie zeigen soll und dann 5 mal 5 Möglichkeiten was die beiden anderen Würfel zeigen, also insgesamt 3mal 25=75 Möglichkeiten, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit 75/216."
wieso habe ich z.B. 3 Möglichkeiten, welcher Würfel keine 6 würfelt (welche denn?) und 5 M., was er würfeln kann und wieso macht das 15??
Wäre echt nett, wenn du mir da noch weiterhelfen kannst!
VG, Avril |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 15:17: |
|
Hallo Avril,
wir stellen uns die 3 Würfel rot, grün und blau vor und legen sie nach jedem Wurf in dieser Reihenfolge hin. Wenn nun 2 von ihnen eine 6 zeigen sollen, so kann das Ergebnis z.B. so aussehen: (6 / 6 / 1), also der rote und der grüne haben eine 6 und der blaue eine 1. Es kann aber auch (6/ 1/ 6) sein – jetzt hat der grüne die 1. Oder (1/ 6/ 6), wenn der rote die 1 hat. Es gibt also 3 Möglichkeiten, wie die Sechsen verteilt sein können. Nun muss ja der Würfel, der keine 6 hat, deswegen nicht unbedingt eine 1 haben, er kann ja auch 2, 3, 4 oder 5 zeigen. Für jede der 3 Verteilungen der Sechsen hast du also 5 Möglichkeiten was derjenige der keine 6 hat, zeigen kann. Macht insgesamt 3 mal 5, also 15 Möglichkeiten.
|
Avril_01 (Avril_01)
Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 20:58: |
|
achso, okay vielen Dank!!!! |
|
