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Junkx (Junkx)
Neues Mitglied
Benutzername: Junkx
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 21:31: | 
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hi, brauch eure hilfe.
folgendes ist gegeben:
ft(x)=(x+t^(-1))*e^(-tx)
ft'(x)=-txe^(-tx)
t€R mit t>0
und jetzt die aufgabe:
"für jedes t gibt es eine gerade gt mit y=gt(x)=tx+1
bestimmen sie den wert für t so, dass die gerade den graph der zugehörigen funktion ft(x) in genau einem punkt schneidet."
lösung soll t=e sein. aber wie kommt man darauf?
ich hab 2 gleichungen:
ft'(x)=t=-txe^(-tx) und
gt(x)=ft(x) -> tx+1=(x+t^(-1))*e^(-tx)
da die gerade nur eine tangente an den graph sein kann, damit sie ihn nur in 1 punkt schneidet.
ich kann das blos nicht so vereinfachen, das ich auf t=e komme. |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 22:30: |
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Hallo Junkx!
Wenn eine Gerade eine Funktion in einem Punkt schneidet ist sie eine Tangente. Die Tangentensteigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ist durch die 1. Ableitung der Funktion in diesem Punkt gegeben. Wenn du die Steigung allgemein willst, dann setzt du keinen Punkt ein, sondern nimmst nur die Ableitung.
Die Steigung deiner Tangente an ft(x) soll also -txe-tx sein (1. Ableitung).
gt(x) soll Tangente an ft(x) sein. Also muss ft'(x) gleich der Steigung von gt(x) sein:
-txe-tx=t
So, und jetzt muss irgendwo was mit nem minus schiefgegangen sein, denn so ist die Gleichung nicht wirklich lösbar :-( |
Junkx (Junkx)
Junior Mitglied
Benutzername: Junkx
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 05:08: |
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genau das hab ich ja oben schon geschrieben gehabt.
die ableitung stimmt aber, da bin ich mir sicher!
ft(x)=(x+t^(-1))*e^(-tx)
ft'(x)=-txe^(-tx)
und wie gesagt wäre die 2. gleichung dann folgende
tx+1=(x+t^(-1))*e^(-tx)
2variablen, 2 gleichungen, müsste lösbar sein... ich schaffs blos nicht |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 06:57: |
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Oh hab ich irgendwie so halb übersehen, dass das die Gleichung war.
Hast du die 1. Ableitung berechnet? Ich dachte, die sei vorgegeben und hab sie nicht nachgerechnet. Aber:
ft(x)=(x+t-1)e-tx
Mit der Produktregel kannst du die Ableitung bestimmen, wobei ich u=x+t-1 und v=e-tx setzte:
ft'(x)=1*e-tx+(x+t-1)(-t)e-tx=e-tx-(x+t-1)e-tx
Probiers mal hiermit. Ich werd das auch versuchen. |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 07:25: |
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Hallo,
bei der Lösung dieser Aufgabe kommt man ganz ohne Ableitung aus. Gefragt ist doch der Wert desjenigen t, für den Gerade und Kurve genau einen Schnittpunkt haben. Also setzen wir einfach ft(x)=gt(x) und suchen die Lösungen x in Abhängigkeit von t.
(x+1/t)*exp(-tx)=tx+1 => [(tx+1)/t]*exp(-tx)=tx+1.
1. Fall:
Es ist x=-1/t. Dies ist für alle t eine Lösung der Gleichung.
2. Fall:
x ungleich -1/t. Dann kürzen wir die Gleichung und erhalten exp(-tx)=t. Daraus folgt -tx=ln(t) (t>0!) => x=-ln(t)/t.
Diese zweite Lösung soll nun gleich der ersten sein, also -ln(t)/t = -1/t => ln(t)=1 => t=e.
Gruß
Michael |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 07:35: |
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Ok, du machst folgendes: (mit meiner 1. Ableitung funktioniert es nämlich)
Du hast die Gleichungen
(I) tx+1=(x+t-1)e-tx
(II) t=e-tx-x-t-1e-tx
Die zweite Gleichung kannst du nach e-tx umstellen:
e-tx=t/(1-x+t-1)
Das setzt du jetzt in (I) ein:
tx+1=(x+t-1)t/(1-x+t-1)=(tx+1)/(1-x+t-1)
Für x>0 kannst du durch tx+1 teilen:
1=1/(1-x+t-1) |*(1-x+t-1)
1-x+t-1=1
x=t-1
Das kannst du jetzt wieder in eine der beiden Gleichungen einsetzen, ich nehm (II):
tt-1+1=(t-1+t-1)e-tt-1
2=2t-1e-1
2e=2t-1
e=t-1
So und jetzt hab ich wohl wieder irgendwo was verdreht, denn es sollte ja e=t rauskommen. Vielleicht findest du ja den Fehler?! |
Petra22 (Petra22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 07:36: |
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Auch ne elegante Möglichkeit, Michael! |
Junkx (Junkx)
Junior Mitglied
Benutzername: Junkx
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 12:51: |
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michael:
wow da wär ich nie drauf gekommen...
petra:
so hab ichs dann auch gemacht (im 10. anlauf), ich hab blos das x=t^(-1) in (I) eingesetzt, da kommt man schneller drauf! |
