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Yoko_1982 (Yoko_1982)
Neues Mitglied
Benutzername: Yoko_1982
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 13:39: | 
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Hallo,
erstmal danke für die letzte antwort, sie hat mir sehr geholfen. Nun habe ich aber schon wieder ein Problem. Ich weiß nicht wie ich folgendes Problem angehen soll.
Aufgabe: Für jedes natürliche n>gleich 1 ist die Zahl 133 ein Teiler von 11^(n+1)+12^(2n-1)
Hilfe wäre wie immer sehr willkommen
gruß yoko |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 822
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 14:08: |
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Hi!
Induktionsanfang (n=1) :
11n+1 + 122n-1 = 112 + 121 = 121 + 12 = 133
133 ist durch 133 teilbar. Also ist der Induktionsanfang ok.
Induktionsannahme:
11n+1 + 122n-1 ist teilbar durch 133.
Induktionsschritt (n -> n+1):
11(n+1)+1 + 122(n+1)-1 = 11*11n+1 + 122n-1+2
= 11*11n+1 + 122*122n-1
= 11*(11n+1 + 122n-1) + (122-11)122n-1
= 11*(11n+1 + 122n-1) + 133*122n-1
Nach Induktionsvoraussetzung ist der erste Summand durch 133 teilbar. Wir definieren deswegen:
133m = 11n+1 + 122n-1, m natürliche Zahl
Dann gilt:
11(n+1)+1 + 122(n+1)-1 = 11*(11n+1 + 122n-1) + 133*122n-1
= 11*133m + 133*122n-1
= 133 * (11m + 122n-1)
Da 11m+122n-1 offensichtlich eine natürliche Zahl ist, ist das gesamte Produkt durch 133 teilbar.
Das war's.
MfG
Martin |
Yoko_1982 (Yoko_1982)
Neues Mitglied
Benutzername: Yoko_1982
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 11:00: |
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Hallo,
danke für deine Antwort. Soweit hab ich alles verstanden. Aber ein paar fragen dazu habe ich noch:
Im Induktionsschritt wird für n immer n+1 gewählt?
Und wie kommst du dort auf die dritte Zeile, die ist mir etwas unklar.
vielen dank
gruß yoko |
Petra22 (Petra22)
Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 14:19: |
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Martin macht folgendes:
11*11^(n+1)+12^2*12^(2n-1)=11*11^(n+1)+11*12^(2n-1)-11*12^(2n-1)+12^2*12^(2n-1)
Wenn du hier jetzt zusammenfasst hast du die dritte Zeile vom Induktionsschritt dastehen.
Beim Induktionsschritt wählt man immer für n n+1. Denn wenn du zeigen kannst, dass etwas für n+1 gilt, dann gilt es auch für n+2, n+3 etc. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 18:32: |
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Man sollte vielleicht den Induktionsschritt noch etwas näher erläutern. Man zeigt eigentlich nicht, "dass etwas für n+1 gilt". Sondern man zeigt:
Wenn etwas für die Einsetzung n gilt, dann gilt es auch für die Einsetzung n+1.
Das schöne alte Bild mit den Dominosteinen hilft dir bestimmt auch, das zu verstehen:
Stelle eine Reihe von Dominosteinen so auf, dass wenn irgendein Stein (n) umfällt, auch sein Nachfolger (n+1) umfällt. Wichtig ist, dass dies für jeden Stein und seinen Nachfolger zutrifft.
Diese Bedingung entspricht dem Induktionsschritt.
Wenn du nun auch noch dafür sorgst, dass du den ersten Stein umwirfst (Induktionsanfang), dann fällt offenbar die ganze Reihe um. Das ist das Prinzip der vollständigen Induktion.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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