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Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied
Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 13:25: | 
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Hi zusammen!
Wer kann mir hier helfen? Ich habe die Aufgaben zum Teil schon gelöst, bin mir aber bei den Ergebnissen nicht sicher.
Wilhelm Tell traf nach eidgenössischen Forschungen mit der Wahrscheinlichkeit von 80%. Er war also kein so guter Schütze.
a) Tell übte täglich. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er bei einer Viererserie
1. viermal daneben schiesst
2. mindestens einmal trifft
3. genau 2 mal trifft
(meine Lösungen: 1. 0.16%, 2. 99.84%, 3. 15.36%)
b) Tells Schützenkollege Amstutz trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. Tell und Amstutz schiessen abwechslungsweise (Tell beginnt). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Amstutz der erste ist, der trifft? (meine Lösung: 12%)
c) Wie oft muss Tell mindestens schiessen, um das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit grösser als 90% mindestens einmal zu treffen? (hier habe ich keine Ahnung, wie man die Aufgabe lösen könnte, bin aber trotzdem auf ein Ergebnis gekommen: er muss mindestens 2mal schiessen)
d) Der Historiker F. Schiller berichtet, wie der Landvogt Gessler Tell auf einen Apfel schiessen liess, der auf den Kopf von Tells Sohn gelegt worden war. Tell hatte aber einen zweiten Pfeil dabei, den er im Fall eines Fehlschusses auf Gessler abgeschossen hätte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war Gessler in Lebensgefahr? (Nehmen Sie an, dass Tell jedes Ziel - Apfel, Zielscheibe oder Gessler - mit derselben Wahrscheinlichkeit trifft) (meine Lösung: 16% Lebensgefahr)
e) Bestimmen Sie eine Trefferwahrscheinlichkeit für Tell so, dass sich für Gessler eine maximale Lebensgefahr ergibt. (bin auf keine Lösung gekommen)
Danke für eure Hilfe!
Sandra |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 14:28: |
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Hallo Sandra,
a)1. richtig
2. richtig
3. richtig
b) richtig, wenn die Aufgabe bedeutet, dass jeder genau 1 mal schießt. Sollten sie jedoch so lange schießen, bis einer von ihnen getroffen hat, dann gewinnt Amstutz mit der Wahrscheinlichkeit 3/25+6/625+12/15625+... Das Ergebnis wäre dann der Grenzwert der geometrischen Reihe zu 3/25*(2/25)i - und das wäre dann 3/23»0,13.
c) Stell die Frage einmal anders herum. Er schießt vorbei p=20%. Bei 2 Schüssen schießt er beide Male vorbei mit p=0,2*0,2=0,04=4% usw. Laut deiner Aufgabe darf die Wahrscheinlichkeit, nur vorbei zu schießen, höchstens 10% betragen. Damit hast du mit deiner Lösung also genau Recht.
Die allgemeine Lösung dieses (auch in Abituraufgaben immer wieder beliebten) Aufgabentyps funktioniert mit Hilfe von Logarithmen: Bilde zunächst den Ansatz mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit:
p=80%, Gegenwahrscheinlichkeit q=20%=0,2
Berechne dann die Wahrscheinlichkeit für lauter Fehlschüsse bei n Schüssen
qn=0,2n
Diese Gegenwahrscheinlichkeit darf maximal eine bestimmte Zahl groß sein, hier 10% = 0,1, also
0,2n£0,1
Jetzt entweder durch Probieren mit dem Taschenrechner lösen oder aber auf beiden Seiten den Logarithmus (z.B. zur Basis 10) bilden
lg 0,2n£lg 0,1 (=-1)
Nach einer Logarithmenregel darf man dann auch schreiben
n lg 0,2 £-1
Durch lg 0,2 teilen. Diese Zahl ist negativ, deshalb das Vergleichszeichen umdrehen:
n ³ -1/lg 0,2 »1,43
Das kleinstmögliche n ist hier also 2 (die nächstgrößere oder gleiche natürliche Zahl).
d) richtig
e) Definiere die Funktion L (=Lebensgefahr) durch
L(x)=(1-x)x (Tell trifft den Apfel nicht, danach aber den Landvogt). Bilde nun die Ableitung von L und bestimme das Maximum der Funktion mit Mitteln der Differentialrechnung (normale Extremwert- bzw. Minimaxaufgabe). Die richtige Lösung ist 50%.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 14:47: |
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Hallo Sandra,
die Ergebnisse von a), c) und d) sind meines Erachtens korrekt. In c) kann man genausogut danach fragen, wie oft Tell schießen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner als 10 % immer daneben schießt. Dies bedeutet aber, es ist die kleinste Anzahl n der Schüsse gesucht mit
0,2^n < 0,1. Daraus folgt n = 2.
In b) bin ich anderer Meinung als du. Wahrscheinlich hast du 0,2 * 0,6 gerechnet. Dies ist aber nur eine der Möglichkeiten, nämlich jene, bei der Tell nicht und Amstutz gleich im ersten Versuch trifft.
Es ist doch aber auch die folgende Kette möglich: Tell nicht -> Amstutz nicht -> Tell nicht -> Amstutz ja. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,2 * 0,4 * 0,2 * 0,6.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass Amstutz als erster trifft, ist daher die Summe
0,2 * 0,6 + 0,2 * 0,4 * 0,2 * 0,6 + 0,2 * 0,4 * 0,2 * 0,4 * 0,2 * 0,6 + ... =
0,2 * 0,6 * [1 + 0,2 * 0,4 + (0,2 * 0,4)^2 + (0,2 * 0,4)^3 + ...] =
0,2 * 0,6 * 1/(1 - 0,2 * 0,4) =
13,04 %
Für e) ist Folgendes zu tun: Sei p die Trefferwahrscheinlichkeit für Tell. Dann ist die Lebensgefahr-Wahrscheinlichkeit für Gessler gleich (1 - p) * p, da ja Tell im ersten Schuss auf den Apfel nicht treffen darf, aber im zweiten auf Gessler treffen soll. Diese Funktion von p soll maximiert werden, d. h. es ist die erste Ableitung nach p zu bilden und gleich 0 zu setzen. Damit ergibt sich 1 - 2p = 0, also p = 0,5. Da die zweite Ableitung -2 negativ ist, handelt es sich in der Tat um ein Maximum. Also genau dann, wenn Tell mit derselben Wahrscheinlichkeit trifft oder nicht trifft, befindet sich Gessler in maximaler Lebensgefahr, nämlich mit 25 %.
Gruß
Michael |
Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied
Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 09:47: |
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Vielen Dank! Ihr habt mir sehr geholfen!
@ Jair: Es handelt sich tatsächlich um eine Abituraufgabe! Nun weiss ich endlich, wie man sie unkompliziert lösen kann!
Viele Grüsse, Sandra |
Sandra_b (Sandra_b)
Mitglied
Benutzername: Sandra_b
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 12:42: |
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Hey Jair!
Hatte heute meine Abiturprüfung in Mathematik! Und es kam doch tatsächlich genau eine solche Aufgabe, wie in c) dran! Du hast mich sogar noch darauf aufmerksam gemacht und so konnte ich die Aufgabe problemlos lösen!
Darum möchte ich mich an dieser Stelle nochmals herzlich bei dir bedanken, denn du hast mir wirklich sehr geholfen!!!
Viele Grüsse
Sandra |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 22:14: |
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Hallo Sandra,
ich freue mich für dich. Hoffentlich hat alles gut geklappt
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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