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Diskussion - Komische Ergebnisse?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Kurvendiskussion » Diskussion - Komische Ergebnisse? « Zurück Vor »

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Blizzard (Blizzard)
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Junior Mitglied
Benutzername: Blizzard

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 21:47:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich habe folgende Funktion gegeben:

f(x)= (ax+x^2) / (1-ax^2)

Wenn ich nun die Extremstellen bestimmen will, wird f'(x)=0 gesetzt, dann erhalte ich:
x= (-( Wurzel(1-a^3)+1)) / a^2
oder x= (Wurzel(1-a^3)-1)) / a^2

Stimmt das? Die Ergebnisse kommen mir so komisch vor, weil sich damit schwer weiterrechnen lässt und die Aufgaben im Mathebuch sonst nicht so lange Ausdrücke beinhalten.

Und wie mache ich mit den Wendestellen weiter? Wenn ich f''(x)=0 rechne, komme ich irgendwann nciht mehr weiter, kann es also nicht nach x auflösen.

Und noch eine Frage: Wie bestimme ich eine Ortslinie zu dieser Funktion?
Und was ist eine "Hüllkurve"? Unser Lehrer hat gesagt, wir sollen uns damit beschäftigen, ich finde aber in keinem Buch was dazu.

Vielen Dank schon mal

Stefan
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1492
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 22:57:   Beitrag drucken

f(x)= (ax + x²)/(1 - ax²)

f '(x)
= [(1 - ax²)(a + 2x) - (-2ax)(ax + x²)]/(1 - ax²)²
= (a + 2x - a²x² - 2ax³ + 2a²x² + 2ax³)/(1 - ax²)²
= (a + 2x + a²x²)/(1 - ax²)²
= 0
=>
a + 2x + a²x² = 0
=>
x = (-1 +/- Wurzel(1 - a³))/a²

... dein Ergebnis scheint richtig zu sein ...
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1493
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 23:23:   Beitrag drucken

f '(x) = (a + 2x + a²x²)/(1 - ax²)²
=>
f "(x)
= [(1 - ax²)²(2 + 2a²x) - 2(-2ax)(1 - ax²)(a + 2x + a²x²)]/(1 - ax²)^4
= 2[(1 - 2ax² + a²x^4)(1 + a²x) + (2ax - 2a²x³)(a + 2x + a²x²)]/(1 - ax²)^4
= 2[1 + a²x - 2ax² - 2a³x³ + a²x^4 + a^4x^5 + 2a²x + 2ax² + 2a³x³ - 2a³x³ - 4a²x^4 - 2a^4x^5]/(1 - ax²)^4
= 2[1 + 3a²x - 2a³x³ - 3a²x^4 - a^4x^5]/(1 - ax²)^4

... ohne Gewähr ... ja, ist ziemlich eklig! ...
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Zur 2. Ableitung:
Bei der Benutzung der Kettenregel in Zusammenhang mit der Quotientenregel sollte man niemals den Zähler ausmultiplizieren, sondern immer kürzen. Dann bleiben die Terme überschaubar:
f"(x)=
((2a²x+2)(1-ax²)²-(a²x2+a+2x)(-2ax)(1-ax²)*2)/(1-ax²)4=
((2a²x+2)(1-ax²)-(a²x²+a+2x)(-4ax))/(1-ax²)³=
(2a²x-2a³x³+2-2ax²+4a³x³+4a²x+8ax²)/(1-ax²)³=
(2a³x³+6a²x+6ax²+2)/(1-ax²)³
Zugegeben, schön für die weitere Rechnung ist das auch nicht gerade; aber immerhin besser als die Lösung oben.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1494
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 00:05:   Beitrag drucken

Ohhh ... zu kürzen vergessen ... Schande über mich!

Rechne jetzt mal mit Jairs Ergebnis weiter - in der Hoffnung, dass er sich nicht verrechnet hat

(2a³x³ + 6a²x + 6ax² + 2)/(1 - ax²)³ = 0
<=>
a³x³ + 3ax² + 3a²x + 1 = 0

Und nun?? Sieht doch gar nicht sooo wild aus ...
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Blizzard (Blizzard)
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Junior Mitglied
Benutzername: Blizzard

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 12:47:   Beitrag drucken

Ok danke, ihr habt mir schon mal sehr geholfen :-)
Solche langen Terme hat man fast nie im Mathebuch, das geht sonst ja meistens auf.

Werde heute nachmittag mal weiterrechnen, falls noch was ist, melde ich mich noch mal.

Danke!
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Blizzard (Blizzard)
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Junior Mitglied
Benutzername: Blizzard

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 14:11:   Beitrag drucken

Also, bei den Wendestellen komme ich nicht weiter, der Rechner ergibt auch das Ergebnis:

f''(x)=0
=> x(a^2*x^2+3x+3a) = -1/a

Was sagt mir das nun? Damit kann ich nichts anfangen.
Und wie berechne ich zu dieser Funktion die Ortslininen? Das ist doch die Kurve, die sich für alle (oder einen bestimmten Bereich) Punkte von t ergibt oder? Aber wie bestimme ich die?
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1496
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 15:46:   Beitrag drucken

Was für eine Ortslinie sollst du berechnen? Die Kurve, auf der alle Wendepunkte liegen?
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1497
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 18:10:   Beitrag drucken

Zur Kurve, auf der die Wendepunkte liegen:

Gesucht sind alle Punkte (x,y), für die gilt:

1) a³x³ + 3ax² + 3a²x + 1 = 0
2) y = (ax + x²)/(1 - ax²)

Aus 2 folgt
3) a = (y - x²)/(x²y + x)

Dies in 1 eingesetzt und umgeformt:
(3x² + x + 3)y³ - 3(x^6 + x³ + 1)y² - 3x²y - x^7 + x = 0

Wahrscheinlich habe ich mich verrechnet, aber im Prinzip hast du jetzt eine implizite Gleichung der Kurve. Wenn du Glück hast, lässt sie sich nach y auflösen.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1498
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 18:35:   Beitrag drucken

Zur Envelope (Einhüllenden). Gesucht sind die Funktionen g(x) und h(x), sodass
g(x) <= f(x) <= h(x) für alle a und alle x
und für jedes x
g(x) = f(x) für mindestens ein a1 und
h(x) = f(x) für mindestens ein a2.

g(x) und h(x) bilden also sozusagen einen Schlauch, in dem alle Funktionen f(x) drin liegen.

Wähle x fest!

Für welches a wird (ax + x²)/(1 - ax²) maximal/minimal?

Leite nach a ab!

f '(a)
= [(1 - ax²)x - (ax + x²)(-x²)]/(1 - ax²)²
= x[1 + x³]/(1 - ax²)²

f '(a) wird (für x != 0) allerdings nicht Null, da a nicht im Zähler steht. Also gibt es keine Envelope ... oder ich habe mich wieder verrechnet ... :-/
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Blizzard (Blizzard)
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Benutzername: Blizzard

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Oktober, 2003 - 16:47:   Beitrag drucken

Zu der Ortslinie: Unser Lehrer hat nur gesagt, wir sollen die bestimmen (das ist eine freiwillige Aufgabe über die Ferien, bei der man sich "Hüllkurve" und "Ortslinie" selbst erarbeiten soll, deshalb habe ich nciht gefragt, was für eine, da ich nicht wusste, was das ist).
Im Buch wird als Beispiel aber die Ortslinie der Hochpunkte bzw. Extrempunkte bestimmt, deshalb werde ich das auch noch machen.

Prinzip ist aber klar geworden, danke! Werde mich vielleicht morgen nohc mal zur Überprüfung melden.

Danke noch mal ;)
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1502
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 07:32:   Beitrag drucken

Merke gerade, dass ich Mist erzählt habe ... melde mich später wieder ...
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1504
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 20:56:   Beitrag drucken

Hier der versprochene Nachtrag.

Es sei (fa(x))aÎIR eine Schar von Funktionen.

Gesucht sind

g(x) := inf {fa(x) | aÎIR}

und

h(x) := sup {fa(x) | aÎIR}

Dabei bezeichnet inf das "Infimum" und sup das "Supremum". Das Infimum (bzw. Supremum) einer Menge A (= inf A bzw. sup A) ist die größte untere (bzw. kleinste obere) Schranke von A. Dabei heißt eine Zahl z "untere Schranke" (bzw. "obere Schanke"), wenn z <= x (bzw. z >= x) für alle xÎA.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1505
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 21:02:   Beitrag drucken

Weiter geht's.

Hier ist fa(x) = (ax + x²)/(1 - ax²)

Für festes (!) x gibt es keine größten und kleinsten Werte fa(x), wie oben schon gesehen. Aber trotzdem könnten Infimum und Supremum existieren.

Tun sie aber für x != 0 nicht, denn

fa(x) -> +/- oo für a -> 1/x².

Also existieren die Hüllkurven nicht.

Gruß

Z.

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