| Autor |
Beitrag |
    
Doro_k85 (Doro_k85)
Neues Mitglied
Benutzername: Doro_k85
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 18:31: | 
|
Hi!
Wir haben in Mathematik vor den Ferien dieses Übungsblatt bekommen, da wir direkt nach den Ferien eine Klausur darüber schreiben... Jedenfalls habe ich das Blatt bereits gelöst, weis jedoch leider nicht, ob alles richtig ist!;-( Könntet ihr mir deshalb BITTE die Lösungswege und Lösungen zu den unten stehenden Aufgaben geben!? DANKESCHÖN!!!!!!!
1.Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der Folgen (alle Folgen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen, ohne 0):
a)<an>=<1/2;2/3;3/4;...>
b)<an>=<3;5;7;...>
2.Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Folge:
<an>=<(2n-1)/(n+1)>
3.Wie heißt die kleinste obere Schranke M bzw. die größte untere Schranke m der Folge?
<an>=<(n+1)/n²>
4.Weisen Sie die Konvergenz der Folge <an> für E=1/100 nach:
<an>=<(2n+1)/n>
5.Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen für
n->oo
a)<an>=<(n+1)/n²>
b)<an>=<Wurzel aus[(n²+3n)/(4n²-5n)]>
DANKE!!!!!!! |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 19:31: |
|
Hallo Doro,
bei 1 sollen wohl die folgenden Folgen gemeint sein:
1a) <an>=<n/(n+1)>
1b) <an>=<2n+1>
2. an=(2n-1)/(n+1)=[2(n+1)-3]/(n+1)=2-3/(n+1)
Daraus erkennt man unmittelbar, dass die Folge <an> mit größer werdendem n wächst, also monoton steigend ist.
3. <an>=<(n+1)/n^2>=<1/n + 1/n^2> ist monoton fallend. Also ist M=a1=2 die kleinste obere Schranke.
Wegen lim an = 0 für n->oo (s. 5.) und an>0 für alle n ist m=0 die größte untere Schranke von <an>.
Denn sei m'>0 eine größere untere Schranke von <an>. Dann gibt es wegen der Konvergenz von <an> gegen 0 nach Definition der Konvergenz eine natürliche Zahl N, sodass für alle n>=N gilt: |an|=an<m'. Also ist m' keine untere Schranke von <an>.
4. Ich unterstelle, dass hier das Epsilon-Konvergenzkriterium
Eine Folge <an> konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert a, wenn für alle Epsilon > 0 eine natürliche Zahl N existiert, sodass für alle natürlichen Zahlen n>=N |an - a| < Epsilon ist,
anhand des numerischen Beispiels für Epsilon (E) = 1/100 verifiziert werden soll.
<an> konvergiert offensichtlich gegen 2, da (2n+1)/n = 2 + 1/n und 1/n -> 0 für n->oo.
Sei nun E=1/100. Wir suchen eine natürliche Zahl N, sodass für alle n>=N |2 + 1/n - 2| = 1/n < E. Man wähle z. B. N=101.
5a) Für n->oo gilt: lim an = lim (1/n + 1/n^2) =
lim 1/n + lim 1/n^2 = 0.
5b) Für n->oo gilt: lim an =
lim {Wurzel aus [(n+3)/(4n-5)]} =
lim {Wurzel aus [(1+3/n)/(4-5/n)]} =
Wurzel aus 1/4 (da 3/n und 5/n gegen 0 gehen) = 1/2.
Gruß
Michael |
Doro_k85 (Doro_k85)
Neues Mitglied
Benutzername: Doro_k85
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 11:42: |
|
Danke!!!!!!! |
|
