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Chrissy55 (Chrissy55)
Junior Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 15:02: | 
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Hallihallo! :-)
Ich hänge wieder einmal an einem Integral, wo ich nicht weiß ob Substituieren, partiell integrieren etc. am schnellsten zum Ziel führt! Schaut es euch mal an:
Integral (0 bis Unendlich) von:
[x^(2n+1)]*e^(-x^2)
Wie macht man das?
lG, Chrissy
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2856
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 15:20: |
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Hi Chrissy,
Da brauchst Du nicht zu hängen,hihi!
Ein wesentlicher Schritt ist der folgende:
Schreibe x^(2n+1) als x^(2n) * x = (x^2)^n * x
Substituiere nun x^2 = u.
Dann kommt für die Differentiale:
2 x dx = du; ersetze x dx durch 1/2 * du
usw.
MfG
H.R.Moser,magamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2857
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 15:40: |
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Hi Chrissy
Ich will Dich nicht hängen lassen!
Vorschlag:
Wähle zunächst n = 1 .
Das uneigentliche Integral wird sein:
J1 = ½.
Versuche sodann für die natürliche Zahl n
für das gegebene bestimmte Integral Jn
eine Rekursionsformel zu gewinnen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Chrissy55 (Chrissy55)
Junior Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 15:57: |
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Hi Megamath!
Also gut, ich habe das getan was du gesagt hast und mein Integral sieht jetzt so aus:
(1/2)*INT(0-bis-Unendlich) von [x^(2n)]*e^(-u) du
Jetzt hatte ich folgende Idee: Anstatt partiell zu integrieren will ich x^(2n) durch e^[(2n)*ln(x)] ausdrücken! Ist das so richtig? Und für x setze ich sqrt(u) ein, dann hätte ich alle x im Integral du beseitigt!
Da ich nun e^(...) *e^(...) im Integral habe kann ich das ja zusammenfassen und ich komme auf:
(1/2)*INT(0-bis-Unendlich) von e^[(2n)*ln(sqrt(u))-u] du
Da ln(sqrt(u)) gleich ist (1/2)*ln(u) kürzt sich der 2er weg und es steht:
(1/2)*INT(0-bis-Unendlich) von e^[n*ln(u)-u] du
Ist bis hierher alles richtig? ich hoffe schon ;-)
Also weiter:
Ich schreibe wieder was um:
(1/2)*INT(0-bis-Unendlich) von e^[n*(ln(u)-(u/n)] du
Somit habe ich das Integral auf ein Grundintegral zuruckgeführt --> INT e^(cx) dx = (1/c)*e^(cx) Also steht weiters:
[1/(2n)]*e^[n*(ln(u)-(u/n)] zwischen den Grenzen Unendlich und Null...
Eine kleine Vereifachung ist noch möglich:
[1/(2n)]*e^[n*ln(u)-u)]
Ich hoffe wirklich dass das stimmt! Mit dem Einsetzen von Unendlich und Null hab ich aber noch Schwierigkeiten, weil ich nicht weiss was da genau rauskommt.... ich kriege als Ergebnis nur 1/(2n), stimmt das?
lG, Chrissy
lG, Chrissy
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Chrissy55 (Chrissy55)
Junior Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 15:59: |
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Aja, ich hatte vergessen dass n Element von den natürlichen Zahlen ist, sorry, das gehört natürlich noch zur Angabe!
lG, Chrissy |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2858
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 16:37: |
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Hi Chrissy
Natürlich habe ich angenommen,n sei eine natürliche Zahl.
Ich gebe das Schlussresultat, damit Du eine Kontrolle hast.
Es gilt:
J(n) = ½ n!
Daraus erkennst Du, dass für J(n) die Rekursionsformel gilt:
J(n+1) = (n+1) * J(n), Verankerung: J(1) = ½.
Deine Methode ist nicht zu empfehlen !
Du sollst (auch übungshalber, wie ich schon sagte)
n = 1 setzen und dann partiell integrieren, das ist
kinderleicht (Vorzeichen rechts beachten!).
Die Grenzen ( untere u = 0 , obere u = infinity) werden
ganz zuletzt eingesetzt.
Beacht: e^(-u) * u wird null, wenn u gegen unendlich strebt.
Die Rekursionsformel gewinnst Du auch durch
partielle Integration,
suche nach keiner anderen Methode !
Das Problem ist auf diese Methode zugeschnitten.
Leider habe ich momentan keine Zeit, Dir alles
ad oculos vorzuführen.
Ich komme später auf die Angelegenheiten
zurück; der Plural ist angebracht!
Mit freundlichen Grüßen
H.R..Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2859
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 17:22: |
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Hi Chressy
Der Fall n = 1:
Der Faktor ½ wird vorläufig weggelassen:
Unbestimmtes Integral:
F(u) = int [ u * e^(-u) du ] = - e^ (-u)*u +int[e^(-u)du]
es wurde gesetzt:
f = u - -> f ´ = 1, g ´ = e^ (-u) - - > g = - e ^ (-u).
fertig:
F(u) = - e^ (- u) * u - e ^ ( - u), voilà
an der obere Grenze F(oo) = 0
an der Unteren Grenze F(0) = - 1
somit: F(oo) – F(0) = 1
insgesamt:
J(1) = ½ *1 = ½
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2860
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 18:08: |
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Hi Chrissy
Der allgemeine Fall mit n :
Der Faktor ½ wird vorläufig weggelassen:
Unbestimmtes Integral:
F(u) = int [ u^n * e^(-u) du ] = - e^ (-u) * u^n + n* int[e^(-u)*u^(n-1)du]
es wurde gesetzt:
f = u^n - -> f ´ = n*u^(n-1), g ´ = e^ (-u) - - > g = - e ^ (-u).
fertig:
F(u) = - e^ (- u) * u^n + n K(u)
K(u) ist das unbestimmtes Integral für (n-1) statt n.
Grenzen eingesetzt (der Faktor ½ hebt sich beiderseits weg!)
J(n) = n * J(n-1); das ist die gesuchte Rekursionsformel,
ein wenig umgestaltet: n-1 statt n, n statt n+1.
Das wär´s !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Chrissy55 (Chrissy55)
Junior Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 11:22: |
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Hi Megamath! :-)
Danke für die Hilfe :-) Das ist ganz schön schwierig.... einerseits konnte ich ja bei meiner Methode ein Ergebnis hinschreiben, aber wie du gesagt hast: Wenn das Problem darauf zugeschnitten ist, ist meine Methode eindeutig falsch, oder? (Auch wenn rechnerisch alles stimmen sollte)
Naja, vielleicht werde ich beim nächsten mal mehr Glück haben ;-) Jetzt bin ich auch auf solche Integrale gefasst!
lG, Chrissy
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2867
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:20: |
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Hi Chrissy,
Es ist interessant, eine Verallgemeinerung des von
Dir vorgelegten Integrals kennen zu lernen.
Gemeint ist dasjenige uneigentliche Integral, untere Grenze 0,
obere Grenze unendlich, dessen Integrand f(x) lautet:
f(x) = x ^ (2n+1) e ^ (- a x^2) mit positivem a.
Wert des uneigentlichen Integrals (ohne Beweis):
J = n! / [(2 a ^ (n +1)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Weiter:
Ist der Exponent von x im Integranden g(x) gerade, also
g(x) = x ^ (2n) e ^ (- x^2) , so sieht das uneigentliche Integral
(untere Grenze null, obere Grenze unendlich) ganz anders aus
Das Ergebnis lautet dann so:
K = sqrt(Pi) * [1*3*5*…* (2n-1)] / 2^ (n+1)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2868
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 12:39: |
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Hi Chrissy,
Es ist sehr zu begrüßen, wenn Du selbständig
eine Lösung erarbeiten willst und dabei einen
unüblichen Weg einschlägst.
Die Lösung muss deswegen nicht falsch sein!
Das Schlussresultat 1/(2n), das Du angegeben hast,
stimmt allerdings nicht. Ich gehe nicht auf die
Fehlersuche. Die Methode mit der partiellen Integration
führt ja mit Sicherheit zum Ziel,
daher wechsle ich das Pferd nicht, mitten im Rennen.
Ich empfehle Dir, diese Methode gut zu lernen
und zu üben, wo immer es geht.
Nach meiner Ansicht ist die Auswertung des
vorliegenden Integrals von einem Schwierigkeitsgrad
an der oberen Grenze des Zumutbaren, es sei denn, man
treibe Mathematik berufsmäßig wie unsereins.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Chrissy55 (Chrissy55)
Junior Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 17:21: |
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Hallo! :-)
Danke für alles, ich werde ganz sicher weiter üben! ;-)
lG, Chrissy |
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