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Abstand Punkt - Gerade im Raum (Ha bi...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Vektorraum » Abstand Punkt - Gerade im Raum (Ha bis 3.11.03) « Zurück Vor »

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Gilke (Gilke)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gilke

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 12:11:   Beitrag drucken

Hallo! Gegeben ist der Punkt P(9;0;8)
und die Gerade g in der Form:

g: 2x1-x2+5x3=12
-x1+4x2+x3=15

Meine Frage:
Wieso kann man eine Gerade im Raum mit solch 2 Gleichungen darstellen? Kann mir das jemand erklären?
Kann mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen?

(Allgemein verstehe ich, wie man den Abstand Punkt - Gerade im Raum berechnet. (sinus alpha ... bzw mit hilfe der Berechnung des Fußpunktes..)

Nur mich stört, dass die Gerade diesmal nicht in der Form: X = ortvektor + t*richtungsvektor angegeben ist, sondern in Form dieser 2 Gleichungen.

Ich brauche die Lösung bis 03.11.03, es ist in diesem Sinne keine Hausaufgabe, sondern eher eine Übung, die wir über die Ferien lösen können.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 693
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 12:30:   Beitrag drucken

Kleiner Tip: Bestimme mal die Lösung des Gleichungssystems in Abhängigkeit von einer der drei Parameter x1,x2 oder x3. Dann dürfte es Dir schon viel bekannter vorkommen.
Falls Du damit Probleme bekommst, poste es hier noch mal.
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Carpediem (Carpediem)
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Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 00:48:   Beitrag drucken

Zu deiner Frage, warum eine Gerade im R3 durch 2 Gleichungen charakterisiert werden kann:

Jede Gleichung repräsentiert eine Ebene. Zwei Gleichungen zusammen ergeben das, was herauskommt, wenn man die beiden Ebenen schneidet, also eine Gerade.
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Gilke (Gilke)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gilke

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 08:46:   Beitrag drucken

Hmpf, ich kann das Gleichungssystem nicht lösen.
Es gibt 3 Variable (x1, x2, x3) aber nur 2 Gleichungen. Wie kann man so eine Art von Gleichungssystem noch mal lösen? Ich weiß es nicht mehr.
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 807
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 09:41:   Beitrag drucken

Hi!

Machen wir mal alles von x1 abhängig.
Hier unser Gleichungssystem.

2x1-x2+5x3=12
-x1+4x2+x3=15

Durch Addition des Vierfachen der oberen zur unteren Gleichung:

2x1-x2+5x3=12
7x1+21x3=63

Wir vereinfachen die untere:

2x1-x2+5x3=12
x1+3x3=9 <=> x3 = 3 - 1/3*x1

Die untere in die obere eingesetzt:

2x1-x2+5(3 - 1/3*x1)=12 <=> 1/3*x1 - x2 = -3 <=> x2 = 1/3*x1 + 3
x3 = 3 - 1/3*x1

Also:
g: x = t*(1, 1/3, -1/3) + (0, 3, 3)

oder mit einem Parameter s := t/3:
g: x = s*(3, 1, -1) + (0, 3, 3)


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 29., Oktober. 2003 von Martin243 editiert)
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Gilke (Gilke)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gilke

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 10:29:   Beitrag drucken

Vielen Dank für die Hilfe! Echt große Klasse, nun weiß ich wieder sehr viel besser bescheid, man kann die Lösung gut nachvollziehen!

Freundliche Grüße,
Gilke

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