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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 18:14: | 
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hi,
wie geht man bei einer partialbruchzerlegung grundsätzlich vor, was will man erreichen, damit die integration möglich ist? könnt ihr mir das vielleicht an einem beispiel klar machen?
detlef |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 18:48: |
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Hi Detlef01,
das ist ein recht umfangreiches Gebiet, aber ich werde mal zusammenfassen, was mir dazu einfällt. Die Partialbruchzerlegung wird bei gebrochen-rationalen Funktionen angewandt. Zu einer Funktion der Form (anxn+an-1xn-1+...+a0x0)/(bmxm+bm-1xm-1+...+b0x0) kann man gewöhnlich keine Stammfunktion aus dem Stehgreif angeben. Sehr wohl ist das aber möglich bei Funktionen der Art
a/(x-b), a/(x-b)² oder (f'(x)/f(x)).
Mit einer Partialbruchzerlegung versucht man nun eine Zerlegung des Ausgangsfunktionsterms in Summanden von genau der obigen Form zu erreichen. Dabei macht man sich zunutze, dass man ganzrationale Funktionen häufig in Linearfaktoren zerlegen kann (x - Nullstelle). Zu jeder Nullstelle lässt sich nun ein Summand angeben, der den Nenner (x - Nullstelle) und eine reelle Zahl als Zähler enthält.
Soweit der "Normalfall". Leider gibt es eine ganze Reihe schwierigerer Sonderfälle. Einer davon ist das Vorhandensein einer Mehrfachnullstelle im Funktionsterm. In diesem Fall benötigt man für jeden Exponenten von 1 bis zur Ordnung der Nullstelle je einen Summanden der Form a/(x-b)n. Außerdem gibt es Fälle, in denen keine reellen Nullstellen mehr vorhanden sind. In diesem Fall kann man aber Terme der Form a/(1+x²) aus dem Funktionsterm herausziehen.
Soweit ein kurzer Überblick. Bist du an einer kompletten Beispielrechnung interessiert? Sie wäre allerdings bei den beschränkten Formatierungsmöglichkeiten hier etwas aufwändig.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1491
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 19:14: |
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Es ist noch Folgendes zu beachten.
Um einen Quotienten p(x)/q(x) zu zerlegen, mache ggf. zuerst eine Polynomdivision:
p(x)/q(x) = a(x) + r(x)/q(x)
mit grad(r) < grad(q).
(Beitrag nachträglich am 19., Oktober. 2003 von zaph editiert) |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 11:57: |
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vielen dank! auf jeden fall wäre ich an einer kompletten beispielrechnung interessiert! wäre echt super...
detlef |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 17:23: |
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Ok, hier ist ein (einfaches) Beispiel:
ò((x-8)/(x²-x-6))dx
Bestimme zunächst die Nullstellen des Nenners. Es sind -2 und 3.
Das bedeutet, dass du folgenden Ansatz machen kannst:
(x-8)/(x²-x-6)=(x-8)/((x+2)*(x-3))
(x-8)/(x²-x-6)=A/(x+2)+B/(x-3)
Dabei sind A und B reelle Zahlen, deren Wert du berechnen musst. Einer der möglichen Wege (nicht der rechnerisch einfachste, aber der für den Anfang verständlichste) führt über einen Koeffizientenvergleich:
(x-8)/(x²-x-6)=(Ax-3A+Bx+2B)/((x+2)(x-3))
x-8 = (A+B)x+(-3A+2B)
Diese Gleichheitsbeziehung gilt für alle x, also müssen die Koeffizienten gleich sein:
A+B = 1
-3A+2B = -8
Dieses System löst man mit dem Ergebnis
B=-1, A=2
Kommen wir nun zum Integral zurück. Es gilt offenbar
ò((x-8)/(x²-x-6))dx=
ò(2/(x+2))dx+ò(-1/(x-3))dx=
2ln|x+2|-ln|x-3|+C
Alles klar?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 276
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 10:52: |
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hi,
also dieser koeffizientenvergleich ist mir nicht klar, was machst du da genau?
detlef |
Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 13:36: |
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Hallo
x-8 = (A+B)x+(-3A+2B)
Diese Gleichheitsbeziehung gilt für alle x, also müssen die Koeffizienten gleich sein:
A+B = 1
-3A+2B = -8"
In der ersten Zeile kannst du leicht erkennen, dass
1) (A+B)*x = x sein muss, also A+B = 1!
2) -3A+2B = -8 sein muss!
Du hast 2 Unbekannte mit 2 Gleichungen, die du durch ein LGS lösen kannst.
...
MfG Klaus
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 277
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 15:58: |
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hi,
alles klar, solche arten von funktionen habe ich jetzt verstanden, habe auch zur übung ein paar gerechnet..!sieht ganz gut aus!*G*
aber wie rechne ich solch eine fkt:
1/(x²+2x) = 1/((x+2)(x-0))
A/(x+2) + B/(x-0) = [A(x-0)+B(x+2)]/[(x+2)(x-0)]
...
oder wie muss ich das machen??
detlef
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 22:46: |
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Stimmt genau, einfach noch die Koeffizienten vergleichen (für alle vorhandenen x-Potenzen getrennt) und fertig:
Ax + Bx +2B = 1, also B=1/2 und A=-1/2 |
Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 278
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 10:40: |
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jo, super, dann bin ich erstmal zu frieden!
aber welche sonderregeln und verfahren gibt es denn bei brüchen noch so?
detlef |
