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Aufgabe + Frage

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Aufgabe + Frage « Zurück Vor »

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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 15:56:   Beitrag drucken

1) Ermittle eine Parametergleichung der Ebene E durch die drei Punkte A(6|6|0), B(0|10|0), C(0|0|6).
E = (6;6;0) + t(-6;4;0) + u(-6;-6;6)
b) Ermittle eine Parametergleichng für die Schnittgerade der Ebene E mit der Ebene durch die Punkte A, B und D!

Noch eine Frage: Handelt es sich um eine besondere Form einer Ebene, wenn die zwei Richtungsvektoren der Ebene abhängig sind??

Vielen Dank im voraus.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 738
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 17:16:   Beitrag drucken

Hallo,

Richtungsvektoren kannst du abkürzen, indem du sie durch eine beliebige Zahl dividierst, also

E = (6;6;0) + t(-3;2;0) + u(1;1;-1)

Wenn zwei Richtungsvektoren einer Ebene linear abhängig sind, dann liegen sie ja auf einer Geraden und spannen somit KEINE Ebene auf. Durch diese Gerade könnte man unendlich viele Ebenen legen, diese bilden dann ein Ebenenbüschel.

NB.: Die Angabe des Punktes D fehlt! Mache dann einen Ansatz, wie man erstens aus drei Punkten die Parametergleichung der Ebene erhält (2 Richtungsvektoren ermitteln, ...) und zweitens die Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform:

Dies geschieht durch das zeilenweise (komponentenweise) Anschreiben der Parametergleichungen. Du erhältst drei Gleichungen in vier Parametern (von jeder Ebene zwei). Einen Parameter kannst du als gegeben voraussetzen (also so belassen), nach den anderen drei das System auflösen. Es ergibt sich dann eine einparametrige Lösungsmenge (mit dem belassenen Parameter), das ist die Parametergleichung der Schnittgeraden.

Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 13:10:   Beitrag drucken

Punkt D (8|0|4)!

Würd mich über Hilfe freuen. :-)
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 16:54:   Beitrag drucken

Hallo Katrin!
Mythos2002 hat mit seiner Beschreibung durchaus Recht - es ist ein allgemeines Rezept zur Bestimmung von Schnittgeraden von Ebenen.
In deinem Fall sähe das so aus - zunächst die Ebenengleichung von F (durch A,B und D):
F: x=(6|6|0)+v(-6|4|0)+w(2|-6|4) oder einfacher
F: x=(6|6|0)+v(-3|2|0)+w(1|-3|2)
Das Gleichungssystem sähe dann so aus:
6-3v+w = 6-3t-u
6+2v-6w = 6+2t-u
0+0v+4w = 0+0t+0u
Aus der letzten Gleichung könntest du w=0 entnehmen und das System vereinfacht sich dann zu
6-3v = 6-3t-u
6+2v = 6+2t-u


-3v =-3t-u |*2
2v = 2t-u |*3


-6v =-6t-2u
6v = 6t-3u


0 = -5u, d.h. u=0
v = t


Diese Überlegungen führen nun zu einem Schluss, den du auch schon viel einfacher und ohne Rechnung (und sogar ohne die Kenntnis der Koordinaten von D) erhalten konntest:
Da die Ebenen beide sowohl den Punkt A als auch den Punkt B enthalten (und dabei nicht identisch sind), muss die Schnittgerade einfach die Gerade AB sein, also
x = (6|6|0)+t(-3|2|0)
Genau diese Gleichung erhältst du auch, wenn du in die Gleichung von E den Wert u=0 oder in die Gleichung von F den Wert w=0 einsetzt.
Nochmals also: der Lösungsweg von Mythos ist der Weg, den man normalerweise gehen muss, in diesem speziellen Fall gibt es aber die o.a. Abkürzung.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 13:30:   Beitrag drucken

Danke!

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