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Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 122 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 12:55: |
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Gegeben ist die Schar der Funktionen fk(x) = (x^(-k))*ln(x²) mit k Element N. 1) Bestimme das Monotonieverhalten von fk sowie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von fk. 2) Zeige: Alle Graphen der Scharfunktionen fk haben im gemeinsamen Schnittpunkt mit der x-Achse die gleiche Tangente. Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte..
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Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 283 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 14:28: |
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1) Bei mir sind es zwei Extrempunkte : f(x) = ( x^(-k) ) * ln(x²) f'(x) = ( -k*x^(-k-1) ) * ln(x²) + ( x^(-k) ) * x^(-2) * 2x f'(x) = ( -k*x^(-k-1) ) * ln(x²) + 2 * x^(-k-1) f'(x) = x^(-k-1) * ( -k*ln(x²) + 2 ) f'(x) = ( 2 - k*ln(x²) ) / x^(k+1) f'(x) = 0 ( 2 - k*ln(x²) ) / x^(k+1) = 0 2 = k*ln(x²) 2/k = ln(x²) x² = e^(2/k) x = ± e^(1/k) Hinzu kommt die Definitionslücke x = 0 . Also gibt es vier Monotonie-Bereiche. Für jeden dieser Bereiche genügt eine Stichprobe. Ich wähle -2e weil -2e < -e^(1/k) -1 weil -e^(1/k) < -1 < 0 1 weil 0 < 1 < e^(1/k) 2e weil e^(1/k) < 2e f'(-2e) = ( 2 - k*ln(4e²) ) / (-2e)^(k+1) = ( 2 - 2k - k*ln(4) ) / (-2e)^(k+1) f'(-2e) < 0 für ungerade k und f'(-2e) > 0 für gerade k f'(-1) = ( 2 - k*ln(1) ) / (-1)^(k+1) = 2 / (-1)^(k+1) f'(-1) > 0 für ungerade k und f'(-1) < 0 für gerade k f'(1) = ( 2 - k*ln(1) ) / 1^(k+1) = 2 / 1 > 0 für alle k f'(2e) = ( 2 - k*ln(4e²) ) / (2e)^(k+1) = ( 2 - 2k - ln(4) ) / (2e)^(k+1) < 0 für alle k Also links ein ein Tiefpunkt für ungerade k und ein Hochpunkt für gerade k und rechts ein Hochpunkt. y-Werte dann durch Einsetzen in f(x) 2) Hier auch. Ich habe zwei Nullstellen : f(x) = 0 ( x^(-k) ) * ln(x²) = 0 ln(x²) = 0 x = ±1 Bei der rechten klappt's f'(1) = 2/1 wie oben. Also gleicher Punkt, gleiche Steigung ==> gleiche Tangente (Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2003 von Georg editiert) www.georgsimon.de
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Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 123 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:27: |
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Danke! |