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Extrempunkte, Tangenten..

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Funktionen » Sonstiges » Extrempunkte, Tangenten.. « Zurück Vor »

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Jezz (Jezz)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz

Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 12:55:   Beitrag drucken

Gegeben ist die Schar der Funktionen fk(x) = (x^(-k))*ln(x²) mit k Element N.
1) Bestimme das Monotonieverhalten von fk sowie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von fk.
2) Zeige: Alle Graphen der Scharfunktionen fk haben im gemeinsamen Schnittpunkt mit der x-Achse die gleiche Tangente.

Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte..
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Georg (Georg)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg

Nummer des Beitrags: 283
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 14:28:   Beitrag drucken

1)
Bei mir sind es zwei Extrempunkte :

f(x) = ( x^(-k) ) * ln(x²)
f'(x) = ( -k*x^(-k-1) ) * ln(x²) + ( x^(-k) ) * x^(-2) * 2x
f'(x) = ( -k*x^(-k-1) ) * ln(x²) + 2 * x^(-k-1)
f'(x) = x^(-k-1) * ( -k*ln(x²) + 2 )
f'(x) = ( 2 - k*ln(x²) ) / x^(k+1)
f'(x) = 0
( 2 - k*ln(x²) ) / x^(k+1) = 0
2 = k*ln(x²)
2/k = ln(x²)
x² = e^(2/k)
x = ± e^(1/k)
Hinzu kommt die Definitionslücke x = 0 . Also gibt es vier Monotonie-Bereiche. Für jeden dieser Bereiche genügt eine Stichprobe. Ich wähle
-2e weil -2e < -e^(1/k)
-1 weil -e^(1/k) < -1 < 0
1 weil 0 < 1 < e^(1/k)
2e weil e^(1/k) < 2e

f'(-2e) = ( 2 - k*ln(4e²) ) / (-2e)^(k+1) = ( 2 - 2k - k*ln(4) ) / (-2e)^(k+1)
f'(-2e) < 0 für ungerade k und f'(-2e) > 0 für gerade k

f'(-1) = ( 2 - k*ln(1) ) / (-1)^(k+1) = 2 / (-1)^(k+1)
f'(-1) > 0 für ungerade k und f'(-1) < 0 für gerade k

f'(1) = ( 2 - k*ln(1) ) / 1^(k+1) = 2 / 1 > 0 für alle k

f'(2e) = ( 2 - k*ln(4e²) ) / (2e)^(k+1) = ( 2 - 2k - ln(4) ) / (2e)^(k+1) < 0 für alle k

Also links ein ein Tiefpunkt für ungerade k und ein Hochpunkt für gerade k
und rechts ein Hochpunkt.

y-Werte dann durch Einsetzen in f(x)

2)
Hier auch. Ich habe zwei Nullstellen :
f(x) = 0
( x^(-k) ) * ln(x²) = 0
ln(x²) = 0
x = ±1
Bei der rechten klappt's
f'(1) = 2/1 wie oben.
Also gleicher Punkt, gleiche Steigung ==> gleiche Tangente

(Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2003 von Georg editiert)
www.georgsimon.de
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Jezz (Jezz)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz

Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 12:27:   Beitrag drucken

Danke!

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