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Sweetdevilchen (Sweetdevilchen)
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Mitglied
Benutzername: Sweetdevilchen

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo

Ein Tunnel, der die Form eines rechteckes mit einem aufgesetzten Halbkreis hat, soll gebaut werden. Wie lautet die maximale Querschnittsfläche bei einem Umfang des Tunnels von 50 m?

Ich bin dankbar für alle hilfreichen Antworten.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Sehen wir uns zunächst einmal eine Skizze an:
Tunnelskizze
Der Umfang setzt sich zusammen aus 2a, dem Boden 2r und einem Halbkreis mit dem Kreisbogen pr. Es gilt also 2a+2r+pr=50. Umgestellt nach a heißt das
a=25-r(1+p/2). Das war die Nebenbedingung.
Nun die Zielfunktion:
Die Querschnittfläche setzt sich zusammen aus einem Rechteck mit den Seiten a und 2r und einem Halbkreis mit der Fläche 1/2pr2. Nach Einsetzen von a ergibt sich also für die Zielfunktion
q(r)=2r(25-r(1+p/2))+1/2pr2.
So, ich denke, den Rest kannst du allein...


(Beitrag nachträglich am 15., Oktober. 2003 von Jair_Ohmsford editiert)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1553
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Die Breite ist der doppelte Radius des Halbkreises,
für
die 2 Höhenstrecken des Rechtecks bleiben je

h = (U - 2r - r*pi)/2, ( h' = -2-pi )
die
Querschnittsfläche A(r) ist somit
A(r) = 2r*h + r²*pi/2, nach r differenziert

A'(r) = 2*(h+r*h') + 2r*pi
A'(r) = (U - 2r - r*pi)+r*(-2-pi) + r*pi

A'(r) = U - r*(2+pi + 2+pi - pi)
A'(r) = U - r*(4+pi)
Extremum
A'(r) = 0; r = U/(4+pi)

das A berechne bitte selbst.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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