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Ebebenchar Orthogonalität

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Ebebenchar Orthogonalität « Zurück Vor »

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Decantus (Decantus)
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Benutzername: Decantus

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:55:   Beitrag drucken

Hi Leutz, kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen ?
Ich hasse die aufgaben mit den chars und verstehe nicht wo ich anfangen soll. Bzw. was ich machen soll. Hier die Aufgabe:

Für jede reele Zahl k ist eine Ebene Ek :
3kx1 + 5x2 - 4kx3 = 10 gegeben.
a) Untersuche, ob es in der Ebenenchar Ek Ebenen gibt die zur x1x2-Ebene, zur x1x3-Ebene oder zur x2x3-Ebene orthogonal sind. Bestimmt ggf. den Parameter k.
b)Prüfe ob es in Ek Ebenen gibt die zueinander orthogonal sind. Falls ja, welcher Zusammenhang besteht dann zwischen den Parametern dieser Ebenen?

Vielen Dank

Martin
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 16:41:   Beitrag drucken

a)Damit zwei Ebenen zueinander orthogonal sind, müssen ihre Normalenvektoren zueinander orthogonal sein, d.h. das Skalarprodukt der Normalenvektoren muss 0 ergeben. Nun haben die Ebenen Ek den Normalenvektor (3k / 5 / -4k) - bitte als Spaltenvektor lesen -, die x1x2-Ebene den NV (0 / 0 / 1), die x1x3-Ebene den NV (0 / 1 / 0) und die x2x3-Ebene den NV (1 / 0 / 0).
Das Skalarprodukt (3k / 5 / -4k)*(0 / 0 / 1) ergibt -4k, ist also 0 für k=0.
Das Skalarprodukt (3k / 5 / -4k)*(0 / 1 / 0) = 5¹0.
Das Skalarprodukt (3k / 5 / -4k)*(1 / 0 / 0) = 3k, ist also 0 für k=0.
Demnach ist die Ebene 0x1+5x2-0x3=10 orthogonal zur x1x2- und zur x2x3-Ebene.
b)Wenn 2 Ebenen der Schar orthogonal sein sollen, muss das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren 0 ergeben. Nehmen wir einmal den Parameter k, einmal den Parameter m für die beiden NV. Dann muss gelten (3k/5/-4k)*(3m/5/-4m)=0.
Nun ergibt das obige Skalarprodukt 9km+25+16km = 25km+25.
25km+25=0 <=>km+1=0 <=>km=-1
Das ist der gewünschte Zusammenhang.

Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Decantus (Decantus)
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Mitglied
Benutzername: Decantus

Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 19:16:   Beitrag drucken

Danke für die schnelle Hilfe, hat mir echt geholfen. Habs auch verstanden. Danke

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