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Beitrag |
    
The_2o (The_2o)
Junior Mitglied
Benutzername: The_2o
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 14:17: | 
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hallo Leute,
hier ist ein Beweis, den ich nicht beweisen kann ;-)
(cos phi1)² + (cos phi2)² + (cos phi3)² = 1
Könnt Ihr mir bitte dabei helfen???
Ich danke euch schon mal im Vorraus |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2797
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 14:52: |
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Hi The 2o,
Welches iat die Bedeutung der Winkel PHI ?
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2798
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:10: |
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Hi
Ich nehme an, es sei ein orthonormiertes Koordinatensystem
des R3 gegeben;
e1,e2,e3 seien die Basiseinheitsvektoren der Koordinatenachsen
x , y, z.
phi1,phi2,phi3 seien die Winkel einer beliebigen Raumgeraden
g bezüglich der drei Koordinatenachsen, genauer :
bezüglich der Basisvektoren e1,e2,e3.
Ihre Kosinuswerte segeln auch unter dem Namen
„Richtungscosinus“.
Die Quadtratsumme dieser Werte ist tatsächlich 1.
Du kannst das so beweisen, dass du einen Richtungsvektor v
von g wählst, mit dem Skalarprodukt je die Kosinuswerte
der drei Winkel berechnest, quadrierst und addierst.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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The_2o (The_2o)
Junior Mitglied
Benutzername: The_2o
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:19: |
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hallo herr Moser,
das problem ist, ich habe kein Richtungsvektor v. Deswegen kann ich auch kein Skalarprodukt berechnen und auch weiter keine Winkel.
Wie kann ich sonst das problem lösen??
mfg The_2O |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2799
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 15:54: |
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Hi The 2o
Das macht nichts; wenn Du ihn nicht hast, den
Richtungsvektor der Gerade g, so beschaff ihn dir.
Er sei mit frei gewählten Koordinaten a, b, c:
v = {a,b,c}; dann ist w = wurzel (a^2+b^2+c^2}
der Betrag des Vektors v.
e1,e2,e3 sind, wie gesagt, die Basiseinheitsvektoren der
Koordinatenachsen x, y, z in dieser Reihefolge.
In Koordinaten:
e1={1;0;0], e2={0;1;0};e3={0,0;1}
Wir berechnen den Winkel phi1 des Vektors v
mit der x-Achse:
cos(phi1) = [a*1] / [w*1]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Im Zähler steht das Skalarprodukt aus v und e1,
im Nenner das Produkt ihrer Beträge.
Wir berechnen den Winkel phi2 des Vektors v
mit der y-Achse:
cos(phi2) = [b*1] / [w*1]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Im Zähler steht das Skalarprodukt aus v und e2,
im Nenner das Produkt ihrer Beträge.
Wir berechnen den Winkel phi3 des Vektors v
mit der z-Achse:
cos(phi3) = [c*1] / [w*1]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Im Zähler steht das Skalarprodukt aus v und e3,
im Nenner das Produkt ihrer Beträge.
Quadriere und addiere die unterstrichenen Zeilen!
Links steht die Quadratsumme der Kosinuswerte,
rechts der Term
(a^2+b^2+c^2) / w^2 und das ist ex definitione von w
gerade eins, qed.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamat
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The_2o (The_2o)
Junior Mitglied
Benutzername: The_2o
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 19:04: |
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Danke megamat!!!
ich konnte deinen Lösungsweg vollständig nachvollziehen.
Ich bedanke mich nochmals herzlich.
mfg The_2O |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1555
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Oktober, 2003 - 12:01: |
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das ganze lässt sich auch ohne viel Rechnung ein einmem Bild "ABLESEN"
Versuche das wirklich erst nur durch Anschauen zu erfassen.
Ein
Streckenstück d der Geraden
sei
Raumdiagonale eines Quaders mit
den
Kantenlängen g, v, b
dessen
Kanten parallel zu den Koordinatenachsen 1, 2, 3
sind.
Dann gelten, weil d=1 und die Winkel ( schwarze Bögen )
zwischen
Kanten und Diagonalen der Flächen (strichliert)die die Kante nicht enthalten rechte
sind
g=d*cosphi1 = cosphi1
v=d*cosphi2 = cosphi2
b=d*cosphi3 = cosphi3
und
weil d2=1=g2+v2+b2
gilt
wie zu beweisen war cos2phi1+cos2phi2+cos2phi3 = 1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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The_2o (The_2o)
Junior Mitglied
Benutzername: The_2o
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Oktober, 2003 - 18:07: |
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hallo Friedrichlaher,
auch bei Ihnen bedanke ich mich herzlich. gut zu wissen, dass man sowas auch "ablesen" kann und in einer Zeichnung sich alles zu veranschaulichen ist auch super.
Nur eine Frage habe ich noch:
Wie und wo haben sie das Bild gezeichnet? Und wie haben sie es in dem Beitrag bekommen?
Mit copy/paste nicht oder??
also nochmal danke an euch beide!!
mfg The_2O |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1556
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Oktober, 2003 - 18:49: |
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Das Bild ist mit dem Linux-Programm "kseg"
(
http://www.mit.edu/~ibaran
)
gezeichnet, die griechischen Buchstaben samt Indizes
mit Linux-Programm mit (Formel- und sonstigem ) Editor texmacs
(
http://texmacs.org
soll's demnächst auch für Windows geben
)
von beiden "screenshots" mit Linux-Programm
"gimp" ( dürfte in etway photoshop entsprechen )
und
die "phi's" in die Zeichnung gepasted.
Dann
das ganze im jpeg Format gespeichert
und
bei Zahlreich hochgeladen
(Siehe
den Link Formatieren
den Du
hier auch findest. (Das da oben ist nur wieder ein
Bild, da drin ist nichts zum anklicken )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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