| Autor |
Beitrag |
    
Rosa13 (Rosa13)
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 11:35: | 
|
Hallo,
kann mir jemand bei den folgenden Aufgaben helfen?
Man skizziere in der Koordinatenebene die Menge
der Punkte P(x/y), für welche gilt:
a) x^2 * y^2 < 1
b) x^2 – y^2 < 1
Herzlichen Dank im Voraus !
Mit freundlichen Grüßen
Rosa R.
|
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 796
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 12:08: |
|
Hi!
Wir schauen uns zuerst die Beziehungen zwischen x und y an:
a)
x2*y2 < 1
<=> (x*y)2 < 1
<=> x*y < 1 und x*y > -1
<=> y < 1/x und y > -1/x
Dazu kommen alle Punkte mit der x-Koordinate 0, also alle Punkte P(0/y) für alle reellen x.
Wir zeichnen die Kurven der Funktionen y=1/x und y=-1/x und alles dazwischen erfüllt unsere Bedingung.
Gezeichnet sieht das ungefähr so aus, wobei die blaue Fläche die Punkte enthält. Dabei zählen die roten und grünen Linien nicht mit.
 |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2794
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 12:14: |
|
Hi Rosa
Bei beiden Aufgaben bestehen die Grenzlinien
aus gleichseitigen Hyperbeln.
Bei a)
sind es die beiden Hyperbeln
x y = 1 und x y = - 1
Für beide sind die Koordinatenachsen zugleich
die Asymptoten.
Die beiden Äste der ersten Hyperbel liegen in den
ungeraden Quadranten, diejenigen der zweiten in
den geraden Quadranten.
Das gesuchte Gebiet für die Lösungspunkte ist ein
bezüglich der Koordinatenachsen liegender sternförmiger
Bereich, der den Nullpunkt enthält und sich
längs der Koordinatenachsen nach rechts und links,
nach oben und unten ins Unendliche zieht.
Die Grenzlinien (Äste der Hyperbeln) gehören der
gesuchten Lösungsmenge nicht an.
Rechnerisch geht man so vor:
Umformung zu
(xy +1) * ( xy - 1) < 0
1.Fall
(xy +1) > 0 und * ( xy - 1) > 0
geometrische Interpretation:……….
2.Fall
(xy +1) < 0 und * ( xy - 1) < 0
geometrische Interpretation:………..
Bei b)
Sind die Koordinatenachsen gleichzeitig die Achsen
der Hyperbel.
Die Asymptoten stimmen mit den Winkelhalbierenden
der Quadranten überein.
Das gesuchte Gebiet befindet sich im „Aeussern “ dieser
Hyperbel: der Nullpunkt gehört dem Lösungsgebiet an.
Die Grenzlinie (Äste der Hyperbel) gehören der
gesuchten Lösungsmenge nicht an.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
