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Beitrag |
    
The_2o (The_2o)
Junior Mitglied
Benutzername: The_2o
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 15:26: | 
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Hallo Leute,
es gibt hier eine Aufgabe, mit der ich Probleme habe. Könntet ihr mir vielleicht weiterhelfen?
Aufg:
mit Hilfe des Skalarprodukts soll der S. des Thales und seine Umkehrung für den Halbkreis um (0/0) bewiesen werden.
Ein Dreieck, dessen längste Seite der Durchmesser eines Kreises ist, genau dann rechtwinklig sind, wenn der dritte Punkt auf dem Bogen des Kreises liegt.
Ich wäre sehr Dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
mfg The_2O |
Jonny_w (Jonny_w)
Mitglied
Benutzername: Jonny_w
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 17:33: |
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Mal dir in ein Koordinatensystem einen Halbkreis durch die Punkte (-1/0), (0/1), (1/0) und zwei Vektoren mit den Startpunkten (-1/0),(1/0) und einem gemeinsamen Endpunkt auf dem Halbkreis.
Die gleichung für den Halbkreís ist:
y = Wurzel(1-x^2)
Die Richtung der Vektoren ist also:
v1= (x+1 / Wurzel(1-x^2))
v2= (x-1 / Wurzel(1-x^2))
Vorraussetzung für die orthogonalität zweier vektoren ist, dass das Skalarprodukt 0 beträgt.
v1*v2= [(x+1)*(x-1)]+[Wurzel(1-x^2)]^2
= [x^2-1] + [1-x^2]
= 0
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 17:42: |
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(1) Wenn der 3. Punkt auf dem Kreisbogen liegt, ist es ein rechtwinkeliges Dreieck.
Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (0|0)
Die längste Seite c soll ein Durchmesser des Kreises sein. Der Einfachheit halber nehmen wir jenen Durchmesser, der auf der x-Achse liegt, also
A(-r|0) und B(r|0). C(x|y) liege auf dem Kreis, d.h. x2 + y2 = r2.
AC = (x+r;y)
BC = (x-r;y)
Skalarprodukt von AC und BC:
(x+r)(x-r) + y2 =
= x2 - r2 + y2 =
= x2 + y2 - r2 =
= 0 (siehe oben)
AC und BC stehen orthogonal aufeinander. Daher ist das Dreieck ABC rechtwinkelig.
(2) Umkehrung: Wenn das Dreieck rechtwinkelig ist, liegt der 3. Punkt auf dem Kreisbogen.
AC und BC müssen orthogonal aufeinander stehen. Das Skalarprodukt, das wie oben x2 + y2 - r2 ist, muss daher 0 sein.
x2 + y2 = r2
Daher liegt C(x|y) auf dem Kreis.
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