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Troy (Troy)
Junior Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 15:19: | 
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Hi!
Nach mehrmaligem Herumprobieren muss ich wohl um Hilfe ansuchen.... folgende Integrale sind durch Substitution (Vorgabe) zu lösen. Wobei ich mir nicht ganz sicher bin was ich als Substitution nehmen soll z.B. wenn eine Wurzel im Nenner steht, woher weiss ich dann ob es sinnvoll ist die ganze Wurzel zu substituieren oder nur ein x^2 oder x^3 welches in der Wurzel drin ist... gibts da eine "Regel" oder sowas?
Das sind die Aufgaben:
a) INT 1/(x*sqrt(x^3+1))
b) INT (x+2)/(sqrt(x^2+4))
c) INT (x^3+x)/(sqrt(x^4-1))
d) INT cot(x)*ln(sin(x))
Hier wäre wirklich schon ein Ansatz sehr hilfreich, wenn ich mich verrechne probier ichs nochmal, nur wie fange ich bei diesen Integralen zu substituieren an??
mfg, Troy
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2763
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 22:23: |
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Hi Troy,
Die von Dir vorgelegten Integrale sind ganz nett und
erzeugen auf keine Art und Weise Horror.
Probiere noch vor Mitternacht folgendes:
Bei a)
Substituiere sqrt (x^3 + 1 ) = z
Bei d)
Substituiere ln (sin x) = u
Bei b)
Forme um:
(x+2) / sqrt(x^2+4) =
½ 2x / sqrt(x^2+4) + 1 / sqrt (1 + ¼ x^2)
Denke an den sinus hyperbolicus !
usw
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2765
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 11:13: |
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Hi Troy,
Bei der dritten Aufgabe empfehle ich Dir die
Substitution x ^ 4 – 1 = z ^ 2
und die Zerlegung in zwei Teilintegrale.
Fazit
Bei allen vier Aufgaben kommst Du mit einer
geeigneten Substitution zum Ziel.
Es tritt auch die Area sinus hyperbolicus Funktion
in Erscheinung.
Hast Du noch Fragen?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Troy (Troy)
Junior Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 13:18: |
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Hi Megamath!
Vielen Dank für deine Ansätze! Aufgabe d) habe ich erfolgreich gelöst, im nachhinein muss ich gestehen dass die doch recht leicht und ohne viel Rechenaufwand zu erledigen war Bei Aufgabe a) habe ich allerdings noch Probleme, ich rechne folgendermaßen:
z = sqrt(x^3 + 1 )
dz/dx = (x^3+1)^(1/2) -->
dz/dx = [(1/2)*(x^3+1)^(-1/2)]*3*x^2 -->
für dx folgt: dx = [2*sqrt(x^3+1)]/(3*x^2)
Wenn ich bis hierher nichts falsch gemacht habe, sieht das Integral dann so aus:
INT [1/(x*z)]*[(2*sqrt(x^3+1))/(3*x^2)] dz
Sowas kann ich doch nicht integrieren, oder? Bei einer Substitution müssten sich doch alle x rauskürzen, hier habe ich x und z im Integral und will nach z integrieren....
Bei den Aufgaben b und c werde ich noch eine Erfolgs- oder Erfolglosigkeitsmeldung nachreichen ;)
mfg, Troy
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Troy (Troy)
Junior Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 14:00: |
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Hi Megamath!
Also Aufgabe c) schaffe ich nicht, da bleibe ich einfach nur hängen.... bei b) hätte ich noch eine Frage: Ist es erlaubt im Integral Zähler + Nenner zu quadrieren? Dann würde der Ausdruck INT [(x+2)^2]/(x^2+4) lauten und da komme ich auf ein Ergebnis.... mit deiner Umformung habe ich auch Schwierigkeiten (ist wahrscheinlich eh recht leicht, aber da war ich noch nie sonderlich gut darin) Wenn du diese vielleicht noch ein wenig detaillierter erklären könntest, wäre ich sehr dankbar!
mfg, Troy |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2768
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 15:15: |
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Hi Troy
Bei solch eigenen Bemühungen ist es angebracht,
zu helfen.
Vorbemerkungen
Bei den angegebenen Substitutionen ist ein Erfolg nicht
sofort ersichtlich.
Im Integrand wuchern Kraut und Kabis, d.h Terme mit x
und z stehen neben – und übereinander.
Da heißt es, frei nach Voltaire:
cultiver le jardin.
Der Integrand darf nach erfolgter Substitution nur noch
Terme in z enthalten.
Den Integranden abändern, etwa durch Quadrieren,
ist nicht erlaubt.
Ich löse nun die Teilaufgabe a)
Subst. sqrt(x^3+1) = z >> x^3 = z^2 – 1
Durch Differentiation nach x erhalten wir
eine Beziehung zwischen den Differentialen dx, dz.
Ableitung von z = sqrt(x^3+1) nach x:
dz/dx = 3 x ^ 2 / [2 sqrt(x^3+1)] = 3 x^2 / (2 z) , also
dx = 2/3 * z / x^2 * dz
Das setzen wir im Integranden ein, auch die Wurzel
dort wird ersetzt.
Als Integrand entsteht – nach einer Vereinfachung-
der (noch) gemischte Term
2/3 * 1/ x^3 dz, den wir sofort und korrekt so schreiben:
2/3 * 1/ (z^2 - 1)
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Mache Partialbruchzerlegung, und Du bist am Ziel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2770
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 15:49: |
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Hi Troy
Eine Ergänzung zur Teilaufgabe a) bezüglich der
Differentiale.
Du kannst die Beziehung zwischen den Differentialen
dx, dz auch durch implizites Differenzieren gewinnen
aus x ^ 3 = z ^ 2 – 1 folgt sofort:
3 x ^ 2 * dx = 2 z dz, also
dx = (2 z / 3x^2) dz.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2771
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 16:10: |
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Hi Troy
Zur Abwechslung löse ich die Aufgabe b) durch eine geeignete
Umformung des Integranden: f(x)
Durch ganz genaues hinsehen und durch Meditation
finden wir:
f(x) = 2x / [2*sqrt(x^2+4)] + 2 * ½ * 1 / sqrt [1+(x/2)^2]
Die Integration liefert SOFORT:
sqrt (x^2+4) + 2* arsinh (x/2)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2772
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 18:02: |
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Hi Troy
Zur dritten Teilaufgabe:
Das gesuchte Integral läst sich in zwei Teilintegrale zerlegen.
Für beide taugt die Substitution
x^4 - 1 = z^2
Die Differentiation liefert
4 x ^3 dx = 2 z dz, also dx = (½ z / x^3) dz
1.Integral , Integrand f(x) = x^3 / sqrt (x^4 - 1) .
Aus f(x) dx wird ½ dz
Integration nach ergibt: ½ z = ½ sqrt (x^4 - 1)
2.Integral , Integrand g(x) = x / sqrt (x^4 - 1)
Aus g(x) dx wird wegen
x^4 = z^2+1, x^2=sqrt(z^2+1) sofort
½ * 1/ sqrt (z^2+1) dz
Integration nach ergibt: ½ arsinh (z) =
½ arsinh (sqrt (x^4 - 1))
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser.megamath
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Troy (Troy)
Junior Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 22:03: |
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Hi Megamath!
Vielen Dank für diese ausführlichen Erklärungen! Es wird noch einiges an Übung erfordern dass ich solche Integrale lösen kann, aber jetzt habe ich wenigstens ein paar gute Ansätze kennengelernt!
Ach ja, falls du dich bei den komplexen Zahlen auch so gut auskennst, dann schau bitte mal ins Forum Klassen 12/13-->Komplexe Zahlen zum Beitrag Hauptwert-Aufgaben!!! Dort scheint mir niemand weiterhelfen zu können.... es geht primär nicht darum WIE diese Aufgaben zu lösen sind, sondern es handelt sich eher darum wie man mathematische Ausdrücke umformt damit man die nächste Zeile schreiben kann (ich sagte ja schon dass ich da nicht sehr gut drin bin).... Lösungsformel und Lösungsweg habe ich schon im Beitrag angegeben, es geht nur darum wie man weiterrechnet!! Vielleicht könntest du ja mal bei Gelegenheit einen Blick drauf werfen, ich sag nur ---> der ln hats in sich ;)
mfg+danke nochmal!
Troy |
