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Pattysunny (Pattysunny)
Neues Mitglied
Benutzername: Pattysunny
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 13:27: | 
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Betrachten Sie die Funktion f :x-> 1 + x/1! + x2 + ... + xn /n!
a) Bilden Sie die ersten drei Ableitungsfunktion.
b) Stellen sie nun eine Vermutung auf für die n-te Ableitungsfunktion.
Anleitung: Beachten Sie bitte, dass nach Definition von „ n-Fakultät“ gilt : n! = 1* 2 * 3 ... n und
0! = 1
ich bin nicht sicher über das ergebnis vorallem mit diesen Ausrufezeichen ich weiß nciht was sie bedeuten sollen
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 775
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 15:51: |
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Hi!
Zuerst die Ausrufezeichen:
Die Erklärung hast du doch selbst gegeben. Das Ausrufezeichen steht für Fakultät, was bedeutet:
Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n! = 1*2*3*4*...*n, also das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen (ab 1 gezählt).
Die Null bildet hier den Sonderfall (oder Basisfall) mit 0! = 1.
a)
Die Fakultäten sollten dich nicht verwirren, denn sie bilden nur konstante Faktoren, die beim Differenzieren einfach mitgeschleppt werden.
Also:
f(x) = 1/0!*1 + 1/1!*x + 1/2!*x2 + 1/3!*x3 + ... + 1/n!*xn
Summandenweise differenziert:
f'(x) = 0 + 1/1!*1 + 1/2!*2x + 1/3!*3x2 + ... + 1/n!*nxn-1
Und wegen
1/m!*m = m/(1*2*3*...*(m-1)*m) = 1/(1*2*3*...*(m-1)) = 1/(m-1)!
erhält man, wenn man jeden Summanden kürzt:
f'(x) = 1/0!*1 + 1/1!*x + 1/2!*x2 + ... + 1/(n-1)!*xn-1
Entsprechend leitet man nochmal ab:
f''(x) = 1/0!*0 + 1/1!*1 + 1/2!*2x + ... + 1/(n-1)!*(n-1)*xn-2
und wieder gekürzt:
f''(x) = 1/0!*1 + 1/1!*x + ... + 1/(n-2)!*xn-2
Und die dritte Ableitung analog:
f'''(x) = 1/0!*0 + 1/1!*1 + 1/2!*2x + ... + 1/(n-2)!*(n-2)*xn-3
= 1/0!*1 + 1/1!*x + ... + 1/(n-3)!*xn-3
b)
Wir sehen, dass bei jeder Ableitung die ersten Glieder gleich bleiben, nur dass am Ende immer die höchste Potenz wegfällt.
Was liegt da näher, als zu vermuten:
f(i) = 1/0!*1 + 1/1!*x + 1/2!*x2 + ... + 1/(n-i)!*xn-i
Im Spezialfall i=n erhält man also:
f(n) = 1/0!*1 + 1/1!*x + 1/2!*x2 + ... + 1/(n-n)!*xn-n
= 0!x0 = 1 (Es bleibt nur noch das absolute Glied übrig.)
Ich hoffe, ich habe die Fehler mal weggelassen
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 05., Oktober. 2003 von Martin243 editiert)
(Beitrag nachträglich am 05., Oktober. 2003 von Martin243 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 16:18: |
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sh. auch
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?9308/333621
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