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Fenderg (Fenderg)
Neues Mitglied
Benutzername: Fenderg
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Oktober, 2003 - 19:06: | 
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Hallo Carpediem!
Habe das Prinzip verstanden, habe mir den letzten Beitrag angeschaut, man muss halt durch die Axiome das, was gelten muss, aus dem gegebenen herleiten.
Habe aber trotzdem noch Probleme mit folgenden 3 Beweisen:
a) -1*a = -a
b) in einem Vektorraum ist der Nullvektor EINDEUTIG bestimmt
c) zu jedem Vektor im V gibt es NUR 1 entgegengesetztes Element a`, wobei gilt: a+a`=Nullvektor
a) und c), das was bewiesen werden soll, ist doch schon der Beweis, oder??
Und bei b), na ja, wie geht das?
Danke!
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Aquariusboy (Aquariusboy)
Junior Mitglied
Benutzername: Aquariusboy
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 11:10: |
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Hallo Fenderg!
a)
Eines der Axiome sagt: a+(-1)*a=0
Daraus folgt schon (-1)*a=-a
b)
Angenommen es gäbe zwei Nullvektoren 0 und 0'
Dann wäre 0=0+0'=0', also ist 0=0' und
somit der Nulvektor eindeutig.
c)
Angenommen es gäbe zu a die entgegengesetzten
Elemente b und b'
Dann wäre a+b=0=a+b', also a+b=a+b'
und damit: -a+a+b=-a+a+b'
also: b=b' |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1488
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 13:02: |
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zu a)
Ein Axiom besagt, dass es zu jedem a ein -a gibt mit a + (-a) = 0.
Weiterhin kann a mit dem Skalar -1 multipliziert werden: (-1)*a.
Zu zeigen: (-1)*a = -a.
Zeige dazu, dass
a + (-1)*a = 0
Mit c) folgt dann die Behauptung. |
Carpediem (Carpediem)
Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 15:39: |
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b) und c) von Aquariusboy sind richtig, bei a) habe ich ein wenig meine Zweifel. a) von Zaph ist gut, aber nicht ganz komplett. Ich würde a) so machen:
0 * a = Nullvektor
(1 + (-1)) * a = Nullvektor
Wir verwenden ein Axiom:
1 * a + (-1) * a = Nullvektor
Wir verwenden das Axiom 1 * a = a:
a + (-1) * a = Nullvektor
Daher ist (-1) * a das entgegengesetztes Element zu a, das mit -a bezeichnet wird und (siehe c) eindeutig ist, also:
(-1) * a = -a
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1489
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 15:50: |
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Na klar, ich habe es nicht ausgeführt.
Bleibt jetzt noch zu zeigen, dass
0 * a = Nullvektor
(Das ist kein Axiom!)
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Carpediem (Carpediem)
Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 15:57: |
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Axiom:
1 * a = a
(0 + 1) * a = a
Axiom:
0 * a + 1 * a = a
Axiom:
0 * a + a = a
0 * a + a + (-a) = a + (-a)
0 * a = Nullvektor
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 776
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 16:08: |
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Gaaanz genau!
Also zeigen wir dies:
Körperaxiom: 0 + x = 0, also: 0 + 0 = 0
0*a = (0+0)*a (Nullelement des Körpers)
= 0*a + 0*a (Distributivität der Skalarmultiplikation)
Also: 0*a = 0*a + 0*a
Jetzt auf beiden Seiten 0*a subtrahieren:
0*a - 0*a = 0*a + 0*a - 0*a
<=> Nullvektor = 0*a
q.e.d.
Dabei 0*a-0*a = 0*a + (-(1)*(0*a)) s.o.
MfG
Martin |
