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Eine Ungleichug mit Absolutbeträgen

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Lisette (Lisette)
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Mitglied
Benutzername: Lisette

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 13:05:   Beitrag drucken

Hallo

Ich hebe eine Aufgabe über eine Ungleichung, die ich nicht
überblicke.
Darf ich bitten, mir zu helfen.
Die Aufgabe lautet:
1/ (1 + abs(x-1)) < 1 / abs(x-2) ; gesucht werden alle x € R,
welche dieser Ungleichung genügen.
Mit abs(x) ist der Absolutbetrag von x gemeint.

Herzlichen Dank im Voraus

Mit freundlichen Grüßen
Lisette
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2736
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 14:13:   Beitrag drucken

Hi Lisette,

Von vorneherein ist x = 2 als Lösung auszuschliessen,
da sonst ein Nenner null würde.

Wir schaffen die Brüche weg und lösen die Gleichung
abs (x-2) < 1 + abs( x-1)

Das Wichtigste, das Du bei der Lösung einer solchen Aufgabe
vorkehren musst:
Führe eine geeignete Fallunterscheidung durch!

1.Fall: x > 2

Die Ungleichung lautet:
x-2 < 1+x-1 d.h. -2 <0 , stets wahr, somit gilt
kommt als Lösungsmenge im ersten Fall der ganze Bereich
x < 2
°°°°°

2. Fall: 1 < = x < 2

Die Ungleichung lautet:
2-x<1+x-1 d.h. x > 1
wiederum gilt der ganze Bereich des zweiten Falls.
1 < = x < 2
°°°°°°°°°°°°

3.Fall: x < 1

Die Ungleichung lautet:
2 – x < 1 + 1 – x, d.h. 2 < 2: Widerspruch

Quintessenz:
Für die Lösungen x gilt:
1 < x < 2 vereinigt mit („oder“) : x < 2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Carpediem (Carpediem)
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Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 15:07:   Beitrag drucken

Korrektur: Du meinst natürlich 1 < x < 2 oder x > 2.

Man könnte das auch so zusammenfassen:
L = { xeR | x > 1 und x ¹ 2 }

werbungsfriedhof@hotmail.com
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2739
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 18:32:   Beitrag drucken

Ave Carpediem,

recte dixisti

salve atque carpe diem
H.R.Moser,megamath
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Carpediem (Carpediem)
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Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 23:59:   Beitrag drucken


Gratias ago.
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Lisette (Lisette)
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Benutzername: Lisette

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Oktober, 2003 - 10:19:   Beitrag drucken

Hallo megamath,

Ich habe von Deiner Lösung sehr viel profitiert !
Besten Dank und liebe Grüsse

Lisette

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