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Troy (Troy)
Neues Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:24: | 
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1. Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion: r(z)=(16*z^3)/[(z^2+1)^3]
2. Partialbruchzerlegung von: r(x)=1/[(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)]
3. Man bestimme den Hauptteil der rationalen Funktion r(z)=4/[(x-1)^2*(x^5+2x+1)] zur Nullstelle x(Index 0)=1 des Nenners
Ich wäre wirklich sehr dankbar wenn diese Beispiele jemand Schritt für Schritt verständlich erklären könnte! Ich komme hier auf keine brauchbare Lösung.... vielen Dank! |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 238
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 15:15: |
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2)
1/[x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)] = s1/x + s2/(x-1) + s3/(x-2) + s4/(x-3) + s5(x-4) + s6(x-5) + s7/(x-6) + s8/(x-7)
Multipliziere mit x*(x-1)*...*(x-6)*(x-7)
(dauert echt lange)
1 = (s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 + s7)*x^7 - (28s1 + 27s2 + 26 s3 + 25s4 + 24s5 + 23s6 + 22s7 + 21s8)*x^6 + (322s1 + 295s2 + 270s3 + 247s4 + 226s5 + 207s6 + 190s7 + 175s8)*x^5 - (1960s1 + 1665s2 + 1420s3 + 1219s4 + 1059s5 + 925s6 + 820s7 + 735s8)*x^4 + (6769s1 + 5104s2 + 3929s3 + 3112s4 + 2545s5 + 2144s6 + 1849s7 + 1624s8)*x^3 - (13132s1 + 8028s1 + 5274s3 + 3796s4 + 2952s5 + 2412s6 + 2038s7 + 1764s8)+x^2 + (13068s1 + 5040s2 + 2520s3 + 1680s4 + 1260s5 + 1008s6 + 840s7 + 720s8)x - 5040s1
dann folgt: 1 = -5040s1 <=> s1 = -1/5040
Man setzt s1 ein, macht Koeffizientenvergleich weiter und erhält ein LGS:
s2 + s3 + s4 + s5 + s6 + s7 + s8 - 1/5040 = 0
...
Beim Lösen hab ich mich sicher verrechnet, auch kein Wunder bei den Zahlen!
hier meine Lösung:
s2 = 657647/421180560
s3 = -875669/140393520
s4 = 137671/9359568
s5 = -1747757/84236112
s6 = 2401823/14039520
s7 = -355693/467976840
s8 = 4145999/2948263920
Vielleicht fällt dir auch eine bessere Methode ein, so ist das nämlich unzumutbar viel Arbeit!
; --------------------------------------------
Eine Partialbruchzerlegung von deinem Term 1) ist viel leichter!
16z^3/[(z^2+1)^3]
(16z^3 + 16z)/[(z^2 +1)^3] = 16z(z^2+1)/(z^2+1)^3
= 16z/(z^2+1)^2
aber (16z^3 + 16z)/[(z^2 +1)^3] ist auch
16z^3/[(z^2+1)^3] + 16z/[(z^2+1)^3]
eine Partialbruchzerlegung ist somit
16z^3/(z^2+1)^3 = 16z(z^2+1)^2 - 16z/(z^2 +1)^3
Bei der 3) kann ich nicht helfen versuchen, weil ich nicht weiß, was ein Hauptteil einer Funktion ist.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2727
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 17:08: |
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Hi Troy,Hi Spezi !
ich werde Euch noch heute zeigen,
wie man die Aufgabe 2) kunstgerecht lösen
kann.
@ Spezi Meine Anerkennung für Deine fleissige und umfangreiche Rechnung !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2728
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 18:00: |
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Hi Troy, Hi Spezi
Teilaufgabe 2):
Zuerst etwas Theorie.
Gegeben sei die gebrochene rationale Funktion
R(x) = P(x) / Q(x)
Voraussetzungen:
Q(a1) = Q(a2) = …= Q(aq) = 0
ai sind die einfachen Nullstellen des Nenners.
P(ai) ist nicht null für i = 1,2 ,…,q.
Keine Sorge: in unserem Beispiel gilt:
P(ai) ist 1 für alle i.
Weiter im Text:
Es ist die Ableitungen Q´ (x) von Q (x) zu ermitteln.
Das geht mit der Produktregel, wenn Q schon in Faktoren
zerlegt ist.
Von Q ´ (x) wird verlangt, dass sie an den genannten Stellen
ai
von null verschieden ist.
Sind diese Voraussetzungen erfüllt,
so lautet die Partialbruchzerlegung von R(x) folgendermassen:
R(x) = P(x) / Q(x) =
c1/(x-a1) + c2/(x-a2) + c3/(x-a3) +……+ cq/(x-aq),
wobei gilt:
ci = P(ai) / Q´ (ai ) für alle i =1…q.
Beachte.
Im Zähler der Koeffizienten ci stehen die Funktionswerte von
P(x) an den Nullstellen ai des Nenners Q(x)
Im Nenner der Koeffizienten ci stehen die Funktionswerte
der ABLEITUNG von Q(x) an denselben Stellen ai.
Zerlege als Übung:
1/ [(x-1)(x-2)(x-3)]
Um die Ableitung Q´ des Nenners Q zu finden,
verwende die Produktregel für drei Faktoren:
„Der Ableitungsstrich wandert von einem Faktor zum andern“.
NICHT die Klammern lösen!
Auflösung bitte einsenden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2730
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 19:38: |
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Hi Troy, Hi Spezi
Ich löse die kleine Übungsaufgabe mit drei
Faktoren im Nenner:
Q(x) = (x-1) (x- 2) (x-3)
Ableitung nach x mit der erweiterten Produktregel:
Q´(x) = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2)
Sofort kommen:
Q´(1) = 2, Q´(2) = -1, Q´(3) = 2
Reziprokwerte: ½ ,-1, ½
Jedes Mal werden zwei Summanden null, hihi !
Somit
1 / [(x-1) (x- 2) (x-3)] =
½ / (x-1) – 1 / (x-2) + ½ / (x-3)
Voilà
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2732
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 09:14: |
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Hi Troy, Hi Spezi
Der Vollständigkeit halber gebe ich hier noch
das Resultat für den Fall von sieben
Faktoren im Nenner, wie sie in Aufgabe 2)
auftreten.
Die Werte der Ableitungen des Nenners Q(x) an
seinen Nullstellen sind, wie man leicht mit der
erweiterten Produktregel findet:
Q´(1) = 6!
Q´(2) = - 5!
Q´(3) = 2! * 4!
Q´(4) = - 3! * 3!
Q´(5) = 2! * 4!
Q´(6) = - 5!
Q´(7) = 6!
Die Kehrwerte dieser Zahlen stehen in den Zählern
der Partialbrüche.
Bitte nachrechnen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Troy (Troy)
Junior Mitglied
Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:21: |
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Vielen Dank für eure Antworten, ich werde alles Schritt für Schritt nochmal nachrechnen + neue Aufgaben zu lösen versuchen ;) |
