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Troy (Troy)
Neues Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:01: |
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Hallo! Man bestimme Betrag und Argument der komplexen Zahl: z(Index n)=1/[(x+j)^n] x€R, n€N Wer kann diese Aufgabe lösen? Vielen Dank im voraus!
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Troy (Troy)
Neues Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:05: |
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Ach ja und noch ein Beispiel ist mir nicht klar: z=arcsin(cosh x), x€R Man soll hier den Hauptwert berechnen! Aber wie?! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 717 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 21:03: |
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Hi, zu 1. Die komplexe Zahl ist nach Moivre bzw. Euler umzuwandeln: z_n = (x + j)^(-n) => r = sqrt((x²+1)^(-n)) = 1/(x²+1)^(n/2) .. Betrag phi = -n*arctan(1/x) .. Winkel, Argument z = [1/sqrt((x²+1)^(n)] * e^(-j*n*arctan(1/x)) z = 1/[(x²+1)^(n/2)] * e^(-j*n*arctan(1/x)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Gr mYthos (Beitrag nachträglich am 01., Oktober. 2003 von mythos2002 editiert) |
Troy (Troy)
Neues Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 15:09: |
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Danke für die schnelle Antwort! Den Weg zum Ergebnis kann ich jetzt nachvollziehen, nur eine Kleinigkeit noch: tan(phi) ist allg. definiert als Imaginärteil dividiert durch Realteil... also phi=arctan (Im/Re) Warum kommt hier ein (-n) vor dem arctan?? Warum muss ich das berücksichtigen? bzw. warum heisst es nicht 1/x^2, sondern nur 1/x?? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 718 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 16:38: |
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Das Beispiel ist wegen der allgemeineren Angabe wirklich nicht ganz einfach und kann auch etwas verwirren, da heisst es eben, achtgeben. Wenn eine komplexe Zahl mit einer natürlichen Hochzahl n potenziert wird, vervielfacht sich der Winkel linear mit diesem Exponent n (Satz von Moivre)! Es ist: z = (a + j*b); mit r² = a² + b², phi = arctan(b/a) bzw. cos(phi) = a/r, sin(phi) = b/r kommt z = r*[a/r + (b/r)*j] = r*[cos(phi) + j*sin(phi)] Für die n-te Potenz (n € N, später erweiterbar auf Z, R, ..) gilt: z^n = r^n*[cos(n*phi) + j*sin(n*phi)] ------------------------------------- Wenn der Exponent -n wird, gilt einfach, dass sich der Zeiger in die andere Richtung dreht, der Winkel entsprechend negativ zu nehmen ist: z^(-n) = r^(-n)*[cos(-n*phi) + j*sin(-n*phi)] --------------------------------------------- Für den neuen Winkel -n*phi ist also der ursprüngliche Winkel phi = arctan(b/a) mit -n zu multiplizieren, daher ist der neue Winkel -n*arctan(b/a). (1/x) ist der Arcustangens des Winkels deswegen, weil 1 der Imaginärteil und x der Realteil ist; du hast ja selbst geschrieben, dass phi = arctan(Im/Re). (1 + x²) ist dann schon das Quadrat des Betrages von z. Gr mYthos
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Troy (Troy)
Junior Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:03: |
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Jetzt verstehe ich es!! Danke nochmal für deine Hilfe
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Troy (Troy)
Junior Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:15: |
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Ach ja, das 2. Beispiel mit dem Hauptwert hab ich erstaunlicherweise (*gg*) doch noch selbst verstanden! Grüße, Troy |