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Betrag + Arg

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Betrag + Arg « Zurück Vor »

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Troy (Troy)
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Benutzername: Troy

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:01:   Beitrag drucken

Hallo!

Man bestimme Betrag und Argument der komplexen Zahl:

z(Index n)=1/[(x+j)^n] x€R, n€N

Wer kann diese Aufgabe lösen? Vielen Dank im voraus!
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Troy (Troy)
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Neues Mitglied
Benutzername: Troy

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:05:   Beitrag drucken

Ach ja und noch ein Beispiel ist mir nicht klar:

z=arcsin(cosh x), x€R

Man soll hier den Hauptwert berechnen! Aber wie?!
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 717
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 21:03:   Beitrag drucken

Hi,

zu 1.

Die komplexe Zahl ist nach Moivre bzw. Euler umzuwandeln:

z_n = (x + j)^(-n) =>

r = sqrt((x²+1)^(-n)) = 1/(x²+1)^(n/2) .. Betrag
phi = -n*arctan(1/x) .. Winkel, Argument

z = [1/sqrt((x²+1)^(n)] * e^(-j*n*arctan(1/x))

z = 1/[(x²+1)^(n/2)] * e^(-j*n*arctan(1/x))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos


(Beitrag nachträglich am 01., Oktober. 2003 von mythos2002 editiert)
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Troy (Troy)
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Benutzername: Troy

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 15:09:   Beitrag drucken

Danke für die schnelle Antwort! Den Weg zum Ergebnis kann ich jetzt nachvollziehen, nur eine Kleinigkeit noch: tan(phi) ist allg. definiert als Imaginärteil dividiert durch Realteil... also phi=arctan (Im/Re)

Warum kommt hier ein (-n) vor dem arctan?? Warum muss ich das berücksichtigen? bzw. warum heisst es nicht 1/x^2, sondern nur 1/x??
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 718
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 16:38:   Beitrag drucken

Das Beispiel ist wegen der allgemeineren Angabe wirklich nicht ganz einfach und kann auch etwas verwirren, da heisst es eben, achtgeben.

Wenn eine komplexe Zahl mit einer natürlichen Hochzahl n potenziert wird, vervielfacht sich der Winkel linear mit diesem Exponent n (Satz von Moivre)!

Es ist:
z = (a + j*b);

mit r² = a² + b², phi = arctan(b/a) bzw.
cos(phi) = a/r, sin(phi) = b/r kommt

z = r*[a/r + (b/r)*j] = r*[cos(phi) + j*sin(phi)]

Für die n-te Potenz (n € N, später erweiterbar auf Z, R, ..) gilt:

z^n = r^n*[cos(n*phi) + j*sin(n*phi)]
-------------------------------------
Wenn der Exponent -n wird, gilt einfach, dass sich der Zeiger in die andere Richtung dreht, der Winkel entsprechend negativ zu nehmen ist:

z^(-n) = r^(-n)*[cos(-n*phi) + j*sin(-n*phi)]
---------------------------------------------
Für den neuen Winkel -n*phi ist also der ursprüngliche Winkel phi = arctan(b/a) mit -n zu multiplizieren, daher ist der neue Winkel -n*arctan(b/a).

(1/x) ist der Arcustangens des Winkels deswegen, weil 1 der Imaginärteil und x der Realteil ist; du hast ja selbst geschrieben, dass phi = arctan(Im/Re).
(1 + x²) ist dann schon das Quadrat des Betrages von z.

Gr
mYthos
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Troy (Troy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Troy

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:03:   Beitrag drucken

Jetzt verstehe ich es!! Danke nochmal für deine Hilfe :-)
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Troy (Troy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Troy

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:15:   Beitrag drucken

Ach ja, das 2. Beispiel mit dem Hauptwert hab ich erstaunlicherweise (*gg*) doch noch selbst verstanden!

Grüße,
Troy

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