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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2723
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 17:47: | 
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Hi allerseits,
Die Dreiecksaufgabe 61 lautet kurz und bündig so:
Die drei Tangenten in den Punkten A,B,C einer Parabel
bilden ein Dreieck X, Y, Z mit dem Flächeninhalt
F*.
In welcher Beziehung steht F* zur Fläche F des Dreiecks
ABC ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2726
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 07:04: |
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Hi allerseits,
Ich gebe ein paar Hinweise zur Lösung:
Zur rechnerischen Bearbeitung dienen die Flächenformeln
für Dreiecke (Determinanten).
Es darf dann ohne Beschränkung der Allgemeinheit (OBdA)
als Parabel die Normalparabel y = x^2 benützt werden.
Oder man versuche, den Segmentsatz nach Archimedes
wiederholt anzuwenden.
Als Flächenverhältnis (Absolutbeträge der Flächen) entsteht
der Quotient ½.
Viel Vergnügen und viel Erfolg !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 05:49: |
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Hi Megamath,
y=x2 => y´=2x
Seien die Punkte
A(a|a2)
B(b|b2)
C(c|c2)
Tangente t1 durch A:
2a=(y-a2)/(x-a) => y=2a*x-a2
Tangente t2 durch B:
2b=(y-b2)/(x-b) => y=2b*x-b2
Tangente t3 durch C:
2c=(y-c2)/(x-c) => y=2c*x-c2
Schnittpunkt von t1 und t2:
2a*x-a2=2b*x-b2
=> x1=(a+b)/2 => y1=a*b
Schnittpunkt von t1 und t3:
2a*x-a2=2c*x-c2
=> x2=(a+c)/2 => y2=a*c
Schnittpunkt von t2 und t3:
2b*x-b2=2c*x-c2
=> x3=(b+c)/2 => y3=b*c
...........|x1 y1 1|
F*=1/2*|x2 y2 1|=-(a-b)(a-c)(b-c)/16
...........|x3 y3 1|
..........|a a2 1|
F=1/2*|b b2 1|=-(a-b)(a-c)(b-c)/8
..........|c c2 1|
=> F*=1/2*F
=> q=1/2
Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2731
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 06:57: |
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Hi Olaf
Besten Dank für Deine vorzügliche Arbeit; bravo !
Damit hast Du die Grundlage gelegt für die Lösung
der neuen Aufgaben 62 und 63 zur Parabel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1484
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 14:41: |
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Hallo Megamath, unter Denksport -> Sonstiges -> Schatzsuche ist ebenfalls eine sehr interessante Dreiecksaufgabe, die auf die allgemeine Lösung wartet. Vielleicht hast du einen eleganteren Ansatz als ich oder du lässt dich von den heftigen Zwischenergebnissen bei der Rechnung nicht abschrecken ;-)
Gruß
Zaph |
