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Dreiecksaufgabe 60: Parabelsegment

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2721
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 09:47:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Dreiecksaufgabe 60:
Vor kurzem wurde die folgende Aufgabe in diesem Forum
gestellt und gelöst; in neuer Formulierung lautet sie:

Die Gerade y = 1/3 x + 1 schneidet von der Parabel
y = - x ^ 2 + 10 x – 21 ein Segment ab.
Man berechne die Fläche A dieses Segments auf zwei
verschiedene Arten:

a)
Mit Integralrechnung

b)
Mit einer schon von Archimedes benützten Formel
A = 2/3 mal Grundlinie mal Höhe, was soll das ?

Als Resultat sollte beide Male herauskommen:

A = 343 / 162
°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 715
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 11:29:   Beitrag drucken

Hallo MM,

also mit der Integralrechnung (in den Grenzen von 11/3 bis 6) ist's eine Standard-Schulaufgabe, das ist mir jetzt mal zu langweilig ...

Ich weiss aber noch einen dritten Weg - es gibt nämlich eine überaus praktikable Formel (Herleitung auf Wunsch möglich) für das von einer allgemeinen Geraden abgeschnittene Parabelsegment:

y² = 2px -> A = (y2 - y1)³/(12p); bzw.
.............. ================
x² = 2py -> A = (x2 - x1)²/(12p)
.............. ================

wobei S(x1|y1) und S(x2|y2) die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel sind.

Die ggst. Parabel ist eine um xs = 5 und ys = 4 verschobene quadratische Parabel y = -x², mit p = (1/2), (deren Scheitel somit S(5|4) ist).

Die Formel ist auch auf diese verschobene Parabel anwendbar, denn es kommt hier nur auf die DIFFERENZ der Schnittpunkts-Koordinaten an.

Die Berechnung des Scheitels - nach

y = -(x² - 10x + 25) + 4
y - 4 = -(x - 5)²

wäre hier deshalb nicht notwendig.

Die Schnittpunkte werden nun aus

(x/3) - 1 = -x² + 10x -21 ermittelt
x² - (29/3)x - 21 = 0
x1 = 11/3, x2 = 6

A(Ps) = (6 - (11/3))³/6 = 7³/(3³*6) = 343/242 E²
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

ID EST!

Gr
mYthos

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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 716
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 12:53:   Beitrag drucken

Sorry, reiner Schreibfehler beim Ergebnis, soll natürlich 343/162 heissen.

Die von Archimedes verwendete Beziehung bezieht sich auf das von einer senkrecht zur Parabelachse verlaufenden Geraden abgeschnittene Parabelsegment:

Ein Schnittpunkt dieser Geraden mit der Parabel ist (x1|y1); die Fläche, begrenzt vom Parabelbogen, der Achse und der Geraden beträgt dann bemerkenswerterweise genau A_Ps = (2/3)*x1*y1 (zwei Drittel der Fläche des Rechteckes gebildet aus x1 und y1!). Diese Tatsache ist ebenfalls leicht zu beweisen.

Um diese Beziehung für die ggst. Aufgabe zu verwenden, wird die Parabel nun mit ihrem Scheitel in den Nullpunkt verschoben. Danach sind 2 Parabelsegmente, Ps1 mit x1 = 1, y1 = -1, Ps2 mit x2 = -4/3, y2 = -16/9 und zwei rechtwinkelige Dreiecke Dr1 (Seiten 1/3 und 1) und Dr2 (Seiten 4/9 und 4/3) erkennbar. Die gesuchte Fläche ist, wie aus einer Skizze hervorgeht:

A_Ps = A_Ps1 + A_Ps2 + A_Dr1 - A_Dr2 =
= (2/2)*1*1 + (2/3)*(4/3)*(16/9) + (1/2)*1*81/2) - (1/2)*(4/9)*(4/3) =
= 2/3 + 128/81 + 1/6 - 8/27 =
= (108 + 256 + 27 - 48)/162

A_Ps = 343/162
°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2722
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 15:41:   Beitrag drucken

Hi Mythos,

das ist ganz schön, was Du uns präsentiert und vorgerechnet
hast.
Genau so ist die Serie der Zusatzaufgaben gemeint, die ich
momentan en gros ins Netz stelle.

„Heureka“, frei nach Archimedes !*

Es sollen Themen, insbesondere aus der Geometrie, aus der
Versenkung geholt, gelöst und besprochen werden, die
- kurz gesagt -
heutzutage in den Schulen zu kurz kommen oder ganz ignoriert
werden.
Es wäre wirklich schade, alle diese schönen Dinge aus der
Schulmathematik zu verbannen, aus Zeit- und anderen Gründen.

Als nächste Aufgabe 61 werde ich eine etwas allgemeinere
Dreiecksaufgabe bringen, wo wiederum eine Parabel
die zentrale Rolle spielt.

Meistens führen mehrere ganz verschiedene Methoden zum Ziel.
Das führt uns weg von der Routine und zeigt, wie abwechslungsreich
und spannend Mathematisieren sein kann.

Die hier vorliegende Aufgabe 60 soll noch auf eine andere Art
gelöst werden
Eine Skizze des Lösungsgangs sollte wohl genügen:

Länge L der Sehne S1(11/3 ; 20/9) S2(6 ; 3)
L = 7/9 wurzel(10)
Tangente t parallel zu g, Berührpunkt T (29/6 ; 143/36)
Normalform von g : (x-3y +3)/wurzel(10) = 0
Abstand H des Punktes T von g nach Hesse:
H = 147 / [ 36*wurzel(10)]
Fläche A des Parabelsegments
(Heureka: die Wurzeln heben sich weg!*)

A = 2/3 * 7/9 * 147 / 36 = 343 / 162
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf

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