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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2700
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 19:03: | 
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Hi allerseits
Ein weiterer Fund aus dem geordneten Chaos in
meinem Archiv:
In der Dreiecksaufgabe 59 sind einige Aussagen über ein
Dreieck mit aufgesetzten Quadraten rechnerisch zu beweisen.
Wir stellen das Dreieck ABC von Anfang an in ein
kartesisches Koordinatensystem.
Koordinaten der Ecken: A(a/0), B(-b /0) ,C(0/c) mit b > 0.
Der Seite AC wird das Quadrat ACST nach aussen hin angelegt,
Seitenlänge AC wie ersichtlich.
Der Seite BC wird das Quadrat BCUV nach aussen hin angelegt,
Seitenlänge BC wie ersichtlich.
Beweise:
a)
Das Viereck BASU ist iso- und orthodiagonal,
d.h. die Diagonalen AU und B S sind gleich lang und stehen
aufeinander senkrecht.
Den Diagonalenschnittpunkt bezeichnen wir im Folgenden
mit Y, und wir behalten Y im Auge.
b)
BT und AV schneiden sich auf der Höhe hc des Dreiecks.
c)
BS, AU und VT schneiden sich in einem Punkt,
eben in Y, hihi
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2713
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 07:53: |
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Hi allerseits,
Es ist höchste Zeit, dass die Dreiecksaufgabe 59 gelöst wird.
Ich mache den Anfang:
Zu a)
NB:
Vektoren werden ohne Pfeile notiert;
Vektorkoordinaten in geschweifte Klammern
Eingeschlossen.
Vektor CA= {a;-c},daraus Vektor CS = {c;a} ,
daraus Punkt S(c/c+a)
Vektor CB= {-b;-c},daraus Vektor CU = {-c;b} ,
daraus Punkt U(-c/c+b)
Wir gewinnen auch leicht die Punkte T und V:
T(a+c/a)
V(-b-c/b)
Schließlich stehen die inkriminierten Vektoren BS und AU:
Vektor BS = {c+b; c+a}
Vektor AU = {-c-a;b+c}
Diese Vektoren haben denselben Betrag,
und sie stehen aufeinander senkrecht, wie man
aus ihrem Skalarprodukt schließen kann.
Damit ist die Teilaufgabe a) fertig gelöst
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2720
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 09:11: |
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Hi allerseits,
Der guten Ordnung halber soll noch die Teilaufgabe b) der
Dreiecksaufgabe 59 gelöst werden.
Vielleicht kann jemand davon profitieren;
es geht immerhin um eine Anwendung der
Analytischen Geometrie.
b)
Wir stellen die Gleichung der Geraden BT auf;
Die Koordinaten der beiden Punkte sind:
B(-b/0),T(a+c/a) 
Gleichung von BT:
y = a/(a+b+c) (x+b),
Schnittpunkt Y1 mit der y-achse:
Y1( 0 / ab/(a+b+c) ).
Wir stellen die Gleichung der Geraden BT auf;
Die Koordinaten der beiden Punkte sind:
A(a/0),V(-b-c/b) 
Gleichung von BT:
y = b/(-a-b-c) (x-a),
Schnittpunkt Y2 mit der y-achse:
Y2( 0 / ab/(a+b+c) ).
Die Punkte Y1 und Y2 fallen zusammen, was zu zeigen war.
Anmerkung
Es ist nicht ratsam, die Teilaufgabe c) rechnerisch lösen
zu wollen!
Hier führen rein geometrische Überlegungen und Schlüsse
viel besser zum Ziel.
Erste Hilfe.
Es sei Z der Schnittpunkt von BS und AU.
Man benütze die Tatsache, dass das Viereck ZASC
ein Kreisviereck ist.
Versuche nachzuweisen, dass der Winkel VZT 180° misst;
damit ist nachgewiesen, dass die Gerade VT durch Z geht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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