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help wg. ableitungen

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Julie27 (Julie27)
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Junior Mitglied
Benutzername: Julie27

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 12:55:   Beitrag drucken

f:x->1+(x/1!)+(x²/2!)+...(x^n/n!)

1.bilden sie die ersten drei ableitungsfunktionen.

2.stellen sie nun eine vermutung für die n-te ableitungsfunktionauf.

beachten sie bitte,dass nach definition der "n-fakultät" gilt: n!=1.2.3...n und 0!=1

also als n-te ablt.funktion hab ich x^(n-1)
ist bestimmt falsch,ne??
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Carpediem (Carpediem)
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Neues Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 14:06:   Beitrag drucken

Ja, das ist leider falsch.

1. Ableitung: 1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^(n-1)/(n-1)!)
2. Ableitung: 1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^(n-2)/(n-2)!)
3. Ableitung: 1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^(n-3)/(n-3)!)

Man sieht: Beim letzten Summand wird sowohl die Potenz, als auch die Fakultät immer um 1 kleiner. Bei der n. Ableitung ist sie auf 0 gesunken.

n. Ableitung: x^0/0! = 1

(Das ist alles, denn die anderen Summanden davor sind durch die vielen Ableitungen bereits 0 geworden.)

werbungsfriedhof@hotmail.com
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 708
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 14:34:   Beitrag drucken

Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn die Reihe ad infinitum (über n hinaus bis unendlich) weitergeführt wird:

f: x-> 1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^n/n!)+(x^(n+1)/(n+1)!+...

Dann ergeben alle Ableitungen immer die gleiche Funktion!

Klarer Fall: Die angegeben Reihe ist die von f: x -> e^x und damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen von e^x wiederum e^x sind.

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