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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2693
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 22:13: | 
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Hi allerseits
Ich bringe als Aufgabe 44 der lockeren Folge eine Aufgabe über
zwei unendliche Reihen mit positiven Gliedern, bei denen
die Divergenz festgestellt und bewiesen werden soll.
Der Umgang mit Reihen dieses Typs ist von eminenter Bedeutung
für Studienanfänger.
Es ist daher irrelevant, dass eine ähnliche Aufgabe wie die erste
erst vor kurzem am Ende eines langen Threads gestellt und gelöst
worden ist.
Die zweite Reihe ist dann schon etwas heikler zu bearbeiten.
Aufgabe
Die beiden Reihen, deren Divergenz nachzuweisen ist lauten:
(i)
allgemeines Glied ak = (3k +1)/ (3k^2 – 2)
summiert von k = 1 ad infinitum .
(ii)
allgemeines Glied ak = (3k -1)/ (3k^2 + 2)
summiert von k = 1 ad infinitum ,
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 896
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 11:01: |
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Hi megamath,
mein Idee wäre das Integralvergelichskriterium!
Ich erhalte für i)
ò1 ¥ (3k+1)/(3k^2-2) dk
=[(1/2)*ln(3*x^2-2) - 1/sqrt(6)*artanh(sqrt(3/2)*x)]
Dort die Grenzen eingesetzt sieht man, I -> inf ==> ak -> inf
Für ii) erhalte ich
ò1 ¥ (3k-1)/(3k^2+2) dk
=[(1/2)*ln(3*x^2+2) - 1/sqrt(6)*arctan(sqrt(3/2)*x)]
Auch hier I -> inf ==> ak -> inf
Oder meinst du einen andere Methode zum Beweisen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2696
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 15:13: |
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Hi Ferdi,
Deine Methode führt in beiden Fällen schnell zum Ziel;
allerdings kommt man auch ohne Integrale durch.
ad (i)
Hier findet man leicht eine divergente Minorante, wie kürzlich
bei der Aufgabe von dj förster.
ad (ii)
Als Grundlage dient der Satz
Sind sum (uk) und sum (vk) unendliche Reihen mit positiven Gliedern,
für welche der Grenzwert lim un/vn = M für n gegen unendlich
existiert und von null verschieden ist, so sind die Reihen entweder beide
konvergent oder divergent.
Als Vergleichsreihe diente in beiden Fällen die divergente harmonische Reihe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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