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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2678
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 20:54: | 
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Hi allerseits,23.09.21:54
In der lockeren Folge XXXXI wollen wir nochmals
eine goniometrische Gleichung lösen.
Sie lautet:
a * ( 1 – cos x ) / sin x = (1 – sin x) / cos x
a ist eine gegebene positive reelle Zahl.
Für welche Werte von a gibt es
keine Lösungen?
Ermittle für a =1 diejenigen Lösungen x, die im Intervall
0 < = x < 2 Pi
liegen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R..Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2703
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 12:31: |
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Hi allerseits,
Auch zur Lösung der Aufgabe Lockere Folge 41
leisten die so genannten Rationalisierungsformeln
gute Dienste.
Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich sin x, cos x
und tan x rational durch t = tan(x/2) ausdrücken.
Mit t = tan(x/2) kommt nämlich:
sin x = 2 t /(1+t^2)
cos x = (1-t^2)/(1+t^2)
tan x = 2 t /(1-t^2
Die gegebene goniometrische Gleichung lautet nach der
Durchführung der Substitution so und Vereinfachung eines
Doppelbruchs so:
a t = [1+t^2–2 t ] / [1 – t^2]= (1 - t)^2 / (1 – t^2)
Also:
a t = (1 – t ) / ( 1 + t ) für t –Werte, die nicht 1 oder-1 sind.
Die letzte Gleichung führt auf eine quadratische Gleichung in t:
a t^2 + (a+1) t – 1 = 0
Die Diskriminante D dieser Gleichung lautet:
D = a^2 + 6 a + 1,
Setzt man a> 0 voraus, so gilt D< 0, so dass
die quadratische Gleichung und damit auch
die goniometrische Gleichung stets reelle Lösungen
haben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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