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Lockere Folge XXXX::Goniometrische Gl...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2677
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 20:36:   Beitrag drucken

Hi allerseits,23.09.21:36

In der lockeren Folge XXXX wollen wir wiederum
eine goniometrische Gleichung lösen.
Sie lautet:

tan x * ( 1 – sin x) = a (1 – cos x)

a ist eine gegebene positive reelle Zahl.
Gesucht werden die im Intervall
0 < = x < 2 Pi liegenden Lösungen .

Zusatzfrage: Für welche Werte von a gibt es keine
Lösungen?

Mit freundlichen Grüßen
H.R..Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 893
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 19:02:   Beitrag drucken

Hi,

leider habe ich nicht mehr viel Zeit daher meine bisherige Lösung, bzw überlegung:

Gleichung umformen:

tan(x) = a * [ (1-cos(x)) / (1-sin(x)) ]

Jetzt Rationalisierungformeln für sin und cos anwenden, d.h. sin, cos und tan durch tan(x/2) ausdrücken.

Führt auf die Quadratische Gleichung:

a*k^2 + (a+1)*k - 1 = 0 mit k = tan(x/2)

liefert die Lösungen:

x=2*arctan[ {-(a+1) +- sqrt( (a+1)^2 + 4a )}/2a ]

Bis hier erst mal, ich hoffe das stimmt und man kann drauf aufbauen!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2687
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 08:02:   Beitrag drucken


Hi Ferdi,

Das war meine Intention, dass die Rationalisierungsformeln
zum Einsatz kommen sollten, und Du hast diese Spur
prompt gefunden: bravo !
Ich führe die Rechnung im Détail vor:
Mit t = tan(x/2) kommt:

sin x = 2 t /(1+t^2)
cos x = (1-t^2)/(1+t^2)
tan x = 2 t /(1-t^2)


Diese so genannten Rationalisierungsformeln werden
auch in der Integralrechnung erfolgreich eingesetzt.

Unsere goniometrische Gleichung lautet nach dieser
Metamorphose so:
2 t / (1- t^2) [1- 2 t / (1+t^2)] = a [1- (1 - t^2)/(1+ t^2)];
dabei wird vorausgesetzt, dass t nicht 1 und nicht null ist.
Multiplikation beider Seiten mit (1 – t^2) * (1+ t^2) führt auf
2 t (1 + t^2 – 2 t ) = a (1-t^2) 2 t^2 oder
t * (1- t)^2 = a (1 – t^2) * t^2; weiter vereinfacht:
1 - t = a (1 + t) t oder:
a t ^ 2 + (a+1) t - 1 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bravo, wir haben dasselbe Resultat!

Die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung in t lautet:
D = (a+1)^2 + 4 a.
D ist stets positiv; die Aufgabe ist immer lösbar.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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