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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2677 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 20:36: |
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Hi allerseits,23.09.21:36 In der lockeren Folge XXXX wollen wir wiederum eine goniometrische Gleichung lösen. Sie lautet: tan x * ( 1 – sin x) = a (1 – cos x) a ist eine gegebene positive reelle Zahl. Gesucht werden die im Intervall 0 < = x < 2 Pi liegenden Lösungen . Zusatzfrage: Für welche Werte von a gibt es keine Lösungen? Mit freundlichen Grüßen H.R..Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 893 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 19:02: |
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Hi, leider habe ich nicht mehr viel Zeit daher meine bisherige Lösung, bzw überlegung: Gleichung umformen: tan(x) = a * [ (1-cos(x)) / (1-sin(x)) ] Jetzt Rationalisierungformeln für sin und cos anwenden, d.h. sin, cos und tan durch tan(x/2) ausdrücken. Führt auf die Quadratische Gleichung: a*k^2 + (a+1)*k - 1 = 0 mit k = tan(x/2) liefert die Lösungen: x=2*arctan[ {-(a+1) +- sqrt( (a+1)^2 + 4a )}/2a ] Bis hier erst mal, ich hoffe das stimmt und man kann drauf aufbauen! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2687 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 08:02: |
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Hi Ferdi, Das war meine Intention, dass die Rationalisierungsformeln zum Einsatz kommen sollten, und Du hast diese Spur prompt gefunden: bravo ! Ich führe die Rechnung im Détail vor: Mit t = tan(x/2) kommt: sin x = 2 t /(1+t^2) cos x = (1-t^2)/(1+t^2) tan x = 2 t /(1-t^2) Diese so genannten Rationalisierungsformeln werden auch in der Integralrechnung erfolgreich eingesetzt. Unsere goniometrische Gleichung lautet nach dieser Metamorphose so: 2 t / (1- t^2) [1- 2 t / (1+t^2)] = a [1- (1 - t^2)/(1+ t^2)]; dabei wird vorausgesetzt, dass t nicht 1 und nicht null ist. Multiplikation beider Seiten mit (1 – t^2) * (1+ t^2) führt auf 2 t (1 + t^2 – 2 t ) = a (1-t^2) 2 t^2 oder t * (1- t)^2 = a (1 – t^2) * t^2; weiter vereinfacht: 1 - t = a (1 + t) t oder: a t ^ 2 + (a+1) t - 1 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Bravo, wir haben dasselbe Resultat! Die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung in t lautet: D = (a+1)^2 + 4 a. D ist stets positiv; die Aufgabe ist immer lösbar. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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