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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2676
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 18:49: | 
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Hi allerseits,23.09.19:49
In der lockeren Folge XXXIX ist die goniometrische
Gleichung
2 cos (x + 3Pi/2) * cos x = sin (Pi/2 + a),
(a ist eine gegebene positive Konstante)
zu lösen; es sind alle reellen Lösungen
x zu finden und in eine Formel zusammenzufassen,
in welcher eine beliebige ganze Zahl k figuriert.
Eine lückenlose Herleitung ist sehr erwünscht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R. Moser, megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 882
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 20:52: |
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Hi Megamath,
in Absprache mit Ferdi veröffentliche ich das vorläufige Amtlich Endergebnis:
x=[(pi*(1-2*k)+2a)/4]
Es wird um Resonanz gebeten. Wenn es korrekt ist kommt morgen die Herleitung.
mfg
Niels
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2679
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 21:00: |
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Hi Niels und Ferdi,23.09.22:00
Go on !
Bravo.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 688
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 21:16: |
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Hallo!
Irgendwo ist in meiner ursprünglichen Rechnung ein "Hund" drinnen gewesen, ich hab's mal wegeditiert und schau mir's ggf. nochmals an.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 22:36: |
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Hi,
nachdem ich dem ursprünglichen Fehler (Schwamm drüber!) auf die Spur gekommen war, ist es noch etwas einfacher geworden.
Diejenigen, bei denen eine automatische Mailbenachrichtigung eingerichtet ist, haben leider die falsche Abhandlung per Mail, weil das Editieren sich natürlich dort nicht mehr auswirken kann. Bitte dieses Mail als gegenstandslos zu betrachten.
Wie schon so oft, hilft hier wiederum die sehr nützliche Beziehung
cos(x)*cos(y) = (1/2)*[cos(x+y) + cos(x-y)]
entscheidend weiter, es kommt damit:
2*(1/2)[cos(2x + 3pi/2) + cos(3pi/2)] = cos(a)
die rechte Seite mit cos(a) dürfte klar sein ..
Weiter:
cos(2x + 3pi/2) + cos(3pi/2) = cos(a)
cos(2x + 3pi/2) = cos(a) .. [da cos(3pi/2) = 0]
Da cos(x) bei positiven UND negativen Argumenten denselben Wert liefert, gibt es 2 Lösungs-Scharen:
2x1 + 3pi/2 = a + 2k*pi (k € Z)
2x2 + 3pi/2 = -a + 2k*pi (k € Z)
bei x1:
4x + 3pi = 2a + 4k*pi
....
x1 = pi*(4k - 3)/4 + a/2 (und analog ->)
ODER
x2 = pi*(4k - 3)/4 - a/2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
die in den o. Antworten angeführte und als richtig anerkannte Lösung
x=[(pi*(1-2*k)+2a)/4]
ist für mich NICHT nachvollziehbar!
Sie liefert beispielsweise für a = 0 und k = -1
->
x = 3pi/4 und damit einen Widerspruch!
Denn x = 3pi/4 in die Gleichung eingesetzt ergibt auf der linken Seite -1, auf der rechten Seite steht aber +1
????
Gr
mYthos
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 883
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 07:06: |
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Hi Mythos2002,
Hier der Lösungsweg:
2 cos (x + 3Pi/2) * cos x = sin (Pi/2 + a)
2*sin(x)*cos(x)=sin(pi/2 + a)
sin(2x+k*pi)=sin(pi/2 + a)
2x+k*pi=pi/2 + a
Woraus nach kurzer Umformung die von mir oben genannte Formel hervorgeht.
Nun ist es an Megamath unsere Ergebnisse neu zu bewerten.
ist a=0 überhaupt eine "positive Kostante" laut meiner Schulzeit gehört die Null zu den Negativen Zahlen....
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2681
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 08:55: |
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Hi Mythos,24.09.09:55
Hi Niels,
Besten Dank für Euren Einsatz bei der Suche nach Lösungen
dieser goniometrischen Gleichung, die etwas aus dem Rahmen
des sonst Üblichen herausfallt.
Ich möchte nicht als graue Eminenz erscheinen und sozusagen
die Leistungen von Kollegen beurteilen.
Deshalb schaue ich nicht auf Eure Herleitungen, sondern
ich präsentiere schlicht und einfach meine Lösung, die
ich im Köcher bereithalte; das ist das Privileg des
Aufgabenstellers.
Gleich zu Anfang kommt eine einfache Formel,
oft als Reduktonsformel bezüglich der Quadranten bezeichnet,
zum Zug.
Für unseren Fall nehmen wir die für alle Winkel psi gültige
Relation
cos (3Pi/2 + psi ) = sin (psi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Unsere Gleichung ist somit äquivalent zur Gleichung
2 sin x cos x = sin ( ½ Pi + a)
oder
sin 2 x = sin ( ½ Pi + a )
Bravo: zwei Sinuswerte sind einander gleich.
Wie sag ich´s meinem Kinde ?
So: entweder sind die Argumente einander gleich oder die
Argumente sind supplementär, genauer (für Erwachsene):
1.Fall
2 x = ½ Pi + a + k * 2 Pi (k: ganze Zahl)
daraus
x = ¼ Pi + ½ a + k Pi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Fall
2 x + ½ Pi + a = k * Pi (k: ganze Zahl)
daraus
x = - ¼ Pi - ½ a + ½ k Pi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Es verbleibt die Aufgabe, die beiden Fälle unter einen Hut zu bringen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2682
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 09:13: |
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Hi Mythos,24.09.10:13
Hi Niels
Auch bei mir ist ein Hund vorhanden !
Wo liegt er begraben ?
Im 2.Fall sind die
UNGERADEN Vielfachen von Pi zu nehmen
setze (2k+1) Pi statt k Pi , Ergebnis:
x = -Pi/4 - a/2 + (2k+1)* Pi/2
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 691
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 12:03: |
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Hi,
das Rätsel ist entwirrt!
Megamath's Lösung (1) ist mit meiner identisch
x1 = ¼ Pi + ½ a + k Pi ->
x1 = ¼ Pi*(1 + 4k) + ½ a
die von mir angeführte Lösung
x1 = pi*(4k - 3)/4 + a/2 geht genau in die von M.M. über, wenn man statt k = k + 1 setzt! Wichtig ist, das die Periode der Lösungen pi bleibt.
Der Fehler von Niels besteht in der Zeile
sin(2x + k*pi) = sin(pi/2 + a)
statt k*pi gehört dort 2k*pi! ->
2x+2k*pi=pi/2 + a
...
x1 = (1 - 4k)*pi/4 + a/2
Dazu ist nun auch o.a. die Fallunterscheidung vorzunehmen, auf die Niels vergessen hat.
Damit werden auch hier unsere Lösungen identisch (für k negative Werte einsetzen).
Abschließend ist zu sagen, dass ihr gleich am Anfang die Umwandlung von cos(x + 3pi/2) eleganter als ich vorgenommen habt, ich hab's unbedingt mit der Formel auflösen wollen. Ansonsten sind aber die Ergebnisse in jedem Fall die gleichen.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 692
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 12:08: |
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Nachsatz zu a:
Ungeachtet dessen, ob 0 nun zu den negativen Zahlen gehört oder nicht, spielt dies in diesem Fall keine Rolle, denn die Gleichung hier muss auch für a = 0 eine Lösung haben.
Es entsteht dann eben die einfachere Gleichung:
sin(2x) = 1
Gr
mYthos
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2683
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 14:13: |
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Hi mYthos,24.09.15:13
Bravo und Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 884
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 15:35: |
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Hi allerseits,
ich dachte immer die Periode p von y=sin(bx) ist
p=k*2pi/b
da bei uns ja b=2 ist bin ich auf k*pi gestoßen.
Habe ich da mal etwas falsches gelernt?
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2686
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 21:32: |
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Hi Niels,24.09.22:32
Ich glaube nicht, dass Du etwas Falsches gelernt hast.
Du bist bloß in eine Sackgasse geraten.
Überlege oder schlage nach, wie die Periode einer Funktion
definiert wird.
Jedenfalls hat die ganze Zahl k,als Parameter verwendet,
dort nichts zu suchen.
Es ist richtig, dass die Funktion f(x) = sin (2 x) die Periode
Pi hat; es gilt nämlich
f(x+Pi) = sin [2(x+Pi)] = f[2x + 2Pi] = f(x) für alle x.
Do schau her:
x wird durch x + Pi ersetzt.
Am Schluss kommt die Periode von sin x itself,
d.i. 2 Pi, zum Zug.
Genau so haben Mythos und ich operiert und der Patient
lebt noch.
Um die Angelegenheit zu vertiefen, schlagee ich vor, die beiden
folgenden Kurzaufgaben zu lösen:
a)
sin 3 x = sin 4x
b)
sin3x = sin (4x + Pi)
Fragen:
Welches ist die Anzahl der Lösungen im Intervall
0 <= x < 2 Pi (Grenzen beachten)?
Wie lauten diese Lösungen im Gradmaß ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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opoo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 15:38: |
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Hi, ich hab mal eine Frage, unswar:
f(x)=sin bx
Kann mir jemand sagen was das b für eine genaue Bedeutung hat und wie ich dazu eine Wertetabelle aufstellen kann?
Wie der Grapf aussieht weiß ich, kann es aber nicht richtig diffinieren. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 498
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 22:44: |
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Hi,
das b ist eine Art Stauchfaktor: b>1 heißt, dass der Sinus zusammengeschoben wird, also schneller oszilliert, 0<b<1 bedeutet ein Strecken der Wellen, die Nullstellen werden auseinandergezogen.
sotux
PS bitte immer neu anfangen, nicht irgendwo dranhängen ! |
