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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2673
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 07:49: | 
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Hi allerseits,23.09.08:49
In der lockeren Folge XXXVIII ist eine goniometrische
Gleichung zu lösen und zwar sind alle Lösungen x zu finden, die
im Intervall 0 < = x < Pi liegen.
Die Gleichung lautet
tan x + tan 2 x + tan 3x = 0
Lückenlose Herleitung erwünscht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R. Moser, megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 879
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 13:34: |
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HI Megamath,
Lösungen:
x=0;x=pi;x=pi/3;x=2pi/3;
x=arctan(0,5*sqrt(2));x=arctan(-0.5*sqrt(2))
so ich hoffe wir haben im wesentlichen das gleiche Ergebnis und, was wichtiger ist, ich hoffe diesmal keinen Fehler gemacht und keinen Nebenwert vergessen zu haben....
mfg
Niels |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 686
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 14:07: |
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Hallo,
ich habe die Gleichung so umgeschrieben:
sinx/cosx + sin(2x)/cos(2x) + sin(3x)/cos(3x) = 0
...
sinx*cos(2x)*cos(3x) + sin(2x)*cosx*cos(3x) + sin(3x)*cosx*cos(2x) = 0
wenn man aus den beiden ersten Summanden cos(3x) ausklammert, steht in der verbleibenden Klammer das 1. Additionstheorem für sin(x + 2x) ->
sin(3x)*cos(3x) + sin(3x)*cosx*cos(2x) = 0
sin(3x) ausklammern -> 0
..
3x = k*180°
x = k*60° (k € Z)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
cos(3x) + cosx*cos(2x) = 0
der erste Summand wird mit dem 1. Additionstheorem umgewandelt:
2*cos(2x)*cos(x) - sin(2x)*sin(x) = 0 | :cos(2x)*cosx
(weder cos(2x), noch cosx können Null sein)
2 = tan(2x)*tanx; tan(2x) m. Add. Theorem auflösen:
1 - tan²x = tan²x
tan²x = 1/2
-> tanx = +/- sqrt(2)/2
Die ersten Hauptwerte sind 35,3° und 144,7°
Gr
mYthos
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2674
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 14:37: |
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Hi mYthos ,23.09.15:37
Deine Lösung gefällt mir sehr gut.
Ich habe mit einer weniger eleganten Methode
immerhin dasselbe Resultat erhalten
Ich skizziere diese Lösung.
Zur Abkürzung setze ich
tan x = m
Dann ist bekanntlich
tan 2 x = 2m / (1-m^2) und noch mehr bekanntlich (!)
tan 3 x = ( 3m – m^3 ) / ( 1 – 3 m^2 )
Setzt man das in die Gleichung ein, kürzt m (nicht null *) weg
und schafft die Brüche weg, so erhält man für u = m ^ 2 die
quadratische Gleichung.
2 u^2 – 7 u + 3 = 0 mit den Lösungen
u1 = 3, u2 = ½
Mit diesen Werten erhalte ich Deine Lösungen.
Zusätzlich (siehe *) kommt mit m = 0 noch
die Lösung x = 0 hinzu.
Viele Grüsse nach Wien !
MfG
H.R.Moser
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 253
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 14:52: |
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Hi Megamath,
Ich sehe,unsere Rechenwege sind identisch...
tan(x)+tan(2x)+tan(3x)=0
tan(2x)=2*tan(x)/[1-(tan(x))^2]
tan(3x)=[3*tan(x)-(tan(x))^3]/[1-3*(tan(x))^2]
Ich substituiere z=tan(x):
z+2z/(1-z^2)+(3z-z^3)/(1-3z^2)=0
Ich mache die Brüche gleichnamig und erhalte nach weiterer Umformung schließlich
2z^5-7z^3+3z=0
z(2z^4-7z^2+3)=0
=> z1=0
2z^4-7z^2+3=0
Ich substituiere u=z^2:
2u^2-7u+3=0
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind
u1=1/2 ; u2=3
=>
z2/3=+-sqrt(1/2) ; z4/5=+-sqrt(3)
z2=sqrt(1/2)
z3=-sqrt(1/2)
z4=sqrt(3)
z5=-sqrt(3)
Rücksubstitution ergibt
1) tan(x)=0 => x=arctan(0) => *x=0*
tan(x-pi)=0 => x-pi=arctan(0) => x-pi=0 => x=pi
tan(x+pi)=0 => x+pi=arctan(0) => x+pi=0 => x=-pi
2) tan(x)=sqrt(1/2) => x=arctan(sqrt(1/2)) => *x~0.615448*
tan(x-pi)=sqrt(1/2) => x-pi=arctan(sqrt(1/3)) => x=arctan(sqrt(1/3)+pi => x~3.75707
tan(x+pi)=sqrt(1/2) => x+pi=arctan(sqrt(1/3)) => x=arctan(sqrt(1/3)-pi => x~-2.52611
3) tan(x)=-sqrt(1/2) => x=-arctan(sqrt(1/2)) => x~-0.61548
tan(x-pi)=-sqrt(1/2) => x-pi=-arctan(sqrt(1/2)) => x=-arctan(sqrt(1/2))+pi => *x~2.52611*
tan(x+pi)=-sqrt(1/2) => x+pi=-arctan(sqrt(1/2)) => x=-arctan(sqrt(1/2))-pi => x~-3.75707
4) tan(x)=sqrt(3) => x=arctan(sqrt(3)) => *x=pi/3*
tan(x-pi)=sqrt(3) => x-pi=arctan(sqrt(3)) => x=arctan(sqrt(3))+pi => x=4/3pi
tan(x+pi)=sqrt(3) => x+pi=arctan(sqrt(3)) => x=arctan(sqrt(3))-pi => x=-2/3pi
5) tan(x)=-sqrt(3) => x=-arctan(sqrt(3)) => x=-pi/3
tan(x-pi)=-sqrt(3) => x-pi=-arctan(sqrt(3)) => x=-arctan(sqrt(3))+pi => *x=2/3pi*
tan(x+pi)=-sqrt(3) => x+pi=-arctan(sqrt(3)) => x=-arctan(sqrt(3))-pi => x=-4/3pi
Im Intervall 0 <= x < pi gibt es also die Lösungen
x1=0
x2~0.615448
x3~2.52611
x4=pi/3
x5=2/3pi
Alles richtig?
Gruß,Olaf
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 880
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 14:53: |
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Hi Megamath und Mythos2002,
Icch habe folgenden Weg gewählt:
Man ersetze:
tan(2x)=[2*tan(x)/(1-tan²(x))]
tan(3x)=[(3*tan(x)-tan³(x))/(1-3*tan²(x))]
und substituiere: tan(x)=k
Die Gleichung besitzt dann die Gestalt:
k+[2k/(1-k²)]+[(3k-k³)/(1-3k²)]=0
Nun lösen wir diese Bruchgleichung so wie wir jede Bruchgleichung lösen würden- mit dem HN durchmultiplizieren.
4k5-14k³+6k=0
k*[4k4-14k²+6]=0
Lösung:
k=0
tan(x)=0=>x=0;x=pi
4k4-14k²+6=0
und noch einmal substituieren- weil es so schön ist:-)
k²=p
4p²-14p+6=0
p1;2=[(14±sqrt(196-96))/8]=(14±10)/8
p1=24/8=3
p2=4/8=1/2
k²=3=>k=±sqrt(3)
tan(x)=±sqrt(3)=>x=pi/3 bzw. x=2*pi/3
k²=1/2=>k=±sqrt(2)/2
x=arctan(±sqrt(2)/2)
so, das sollten dann alle Lösungen sein....
mfg
Niels
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 881
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 15:03: |
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upps,
Ich sehe gerade das ich nicht alle Lösungen im Intervall 0=<x=<pi berechnet habe, ich denke Olafs Lösungen sind Komplett, allerdings sind alle unsere Lösungswege Kongruent.
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2675
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 15:23: |
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An alle Beteiligten,23.09.16:23,hihi
Das waren vorbildliche Fleißarbeiten; alles ok
Herzlichen Dank!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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