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Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 15:44: | 
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Kann mir jemand erklären, wie ich folgende Funktionen aufleite?
f1(x) = kx*e^(-kx²)
f2(x) = ln (0,25x²+k)
f3(x) = (ln x - k)/ x
Danke!
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Detlef01 (Detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 243
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 18:08: |
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hi,
also f1(x): da musste meiner meinung nach produktregel und substitution anwenden! e^(-kx²) durch substitution integrieren und dann produktregel anwenden!
detlef |
Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 12:38: |
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Kann mir jemand erklären, wie man das mit der Substitution macht?? Haben so etwas leider noch nicht gemacht..  |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 685
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 13:22: |
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Nun, mal zum Prinzip, bei Beispiel 1:
f1(x) = k*x*e^(-kx²) wird statt es Exponenten -kx² von e eine neue Variable z gesetzt:
z = -k*x², diese Beziehung heisst Substitution, dadurch soll der Integrand einfacher werden; beachte, dass auch nach Einführung des z noch immer "nach dx" beim Integral steht.
Diese Substitution wird zunächst differenziert (mit dem Ziel, das Differential dx durch dz zu ersetzen) ->
dz = -2k*x*dx, dx berechnen ->
dx = -1/(2kx) * dz
F1(x) = Int f1(x)dx =
= int k*x*(e^z)dx (hier noch dx)=
= int [-kx/(2kx)](e^z)dz (hier dx ersetzt) =
= (-1/2)*int(e^z)dz =
= (-1/2)e^z = [rücksubstituieren!] = (-1/2)e^(-kx²) + C
========= ........................... =================
Das Integral hat sich durch die Substitution sehr vereinfacht, infolge des Wegfalls von x ist auch keine partielle Integration (wie zunächst vermutet) mehr notwendig!
(Achtung: Nachricht von mYthos editiert)
Gr
mYthos
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Kara_ben_nemsi (Kara_ben_nemsi)
Neues Mitglied
Benutzername: Kara_ben_nemsi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 18:44: |
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Es wäre auch eine andere Vorgehensweise denkbar, wenn nicht verlangt ist die Stammfunktion durch Integrieren zu erhalten.
Man betrachtet erstmal nur den Faktor e^-kx² und leitet diesen ab:
G(x)=e^-kx²
G`(x)=-2kx*e^-kx²
G`(x) ist bis auf den Faktor -2 gleich f1(x).
Um auf f1(x) zu kommen wird G`(x) und G(x) (damit Funktion und Ableitungen "zusammenpassen") mit
-0,5 multipliziert.
Ergebnis:
G(x)=-0,5*e^-kx² (=F1(x))
G`(x)=kx*e^-kx² (=f1(x))
Diese Vorgehensweise ist wesentlich schneller als die Substitution, kann aber nicht immer angewand werden. |
Kara_ben_nemsi (Kara_ben_nemsi)
Neues Mitglied
Benutzername: Kara_ben_nemsi
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. September, 2003 - 19:01: |
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zu f3(x):
f3(x) = ln (x) - k/x = (ln (x) - k)*1/x
F3(x) = int (ln (x) - k)*1/x dx
Substitution:
z = ln (x)
z` = 1/x = dz/dx
F3(x) = int z-k dz
(1/x wurde ersetzt durch dz/dx, dann wurde dx gekürzt)
F3(x) = [0,5z²-kz]
= [0,5*(ln x)² - k*ln x]
= [ln x(0,5*ln (x) - k)] |
Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 14:46: |
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Danke! Ich drucke das jetzt aus und meld mich bei Fragen noch mal!  |
Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 16:09: |
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Abänderung von f2:
f2(x) = ln (x²+4)
z = x² + 4
dz = 2x dx
dx = dz / (2x)
int ln z dx = int (ln z )/(2x) dz
Was mache ich jetzt??
ln z aufleiten?
z*ln z - 1 / (2x)
Und dann für z = x² + 4 einsetzen?
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 694
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 11:21: |
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Typischer Fall, dass die Standard-Substitution nicht immer funktioniert.
Das geht hier so nicht, weil ja noch das x stehenbleibt! Vor dem Integrieren (nach dz) darf der Term nur noch z enthalten. Ein Versuch wäre es, x aus der Substitution durch sqrt(z - 4) zu ersetzen, das führt aber zu einem noch komplexeren Integral.
Also ist etwas Phantasie angesagt. Versuchen wir mal folgende Substitution:
x² + 4 = z²
2x*dx = 2z*dz
dx = dz
f2(z) = ln(z²)
Der Trick ist, jetzt kann logarithmiert werden!
f2(z) = 2*ln(z)
int ln(z²) dz = 2*int ln(z) dz
Für das Standard-Integral ln(z) finden wir lt. Tabelle z*(ln(z) - 1), oder wir berechnen dieses mittels partieller Integration:
ln(z) = 1*ln(z)
u' = 1; v = ln(z)
u = z; v' = 1/z
.. -> z*ln(z) - int(1)dz = z*ln(z) - z =
= z*(ln(z) - 1)
Also erhalten wir:
... = 2z*(ln(z) - 1) und nach Rücksubstitution
= 2*(x² + 4)*[ln(x² + 4) - 1] + C
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mittels Differenzierens kann das Ergebnis verifiziert werden!
N.B.:
MathDraw bzw. Abakus Online versagt den Dienst! Erst nach dem Logarithmieren gibt es das Standard-Integral für ln(x) aus.
Selbermachen führt also zum Erfolg.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 25., September. 2003 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 699
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 21:39: |
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Hi,
in meiner letzten Antwort ist ein schwerwiegender Fehler, sodass das Ergebnis NICHT richtig ist (danke für den Hinweis einer aufmerksamen Leserin!).
Ich schrieb:
.....
x² + 4 = z²
2x*dx = 2z*dz
dx = dz
.....
so geht's aber nun doch nicht, denn richtig müsste sein:
x² + 4 = z²
2x*dx = 2z*dz
x*dx = z*dz
und damit ist bitte der Rest meiner o.a. Antwort zu ignorieren.
Ich weiss im Moment gar nicht, ob diese Funktion geschlossen integrierbar ist. Wenn wer einen Hinweis hat, bitte diesen zu veröffentlichen.
Gr
mYthos
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1487
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 21:59: |
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weis nicht recht, ob auf dieser Schulstufe
die komplexe Faktorisierung x²+4 =(x + 2i)(x-2i)
verwendet werden darf,
dann wäre es relativ einfach
und
mathematika gibt für Integrate[Log[x^2+4],x]
ein einfaches geschlossenes Ergebenis.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1488
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 09:50: |
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Die komplexe Faktorisierung wäre allerdings "mit Kanonen auf Spatzen schiessen",
Partielle Integration genügt.
Ich bin dabei, es etwas allgemeiner auszuarbeiten.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1489
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 11:56: |
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fehlerhaftes Posting durch Technik gelöscht richtige Herleitung siehe hier.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Katrin000 (Katrin000)
Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 12:11: |
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Danke! Nur leider hatten wir arc.. noch nicht.
@mythos:
Hast du vielleicht noch ein Beispiel, in dem sowohl partielle Integration als auch Substitution vorkommen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1490
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 12:59: |
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arctan = arcustangens = Umkehrfunktion des Tangens .
Wenn euch die Aufgabe tatsächlich gestellt wurde,
sollte
arcustangens doch schon Stoff gewesen sein.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 15:34: |
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Wie würde man etwas wie
f(x) = cos (x²+2x)
aufleiten?? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 17:28: |
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Danke @Friedrich!
Ich habe es dennoch mal mit der komplexen Zerlegung versucht, diese ist gar nicht mal so schwierig, zumindest nicht mal so aufwändig, wie dein anderer Lösungsweg!
Ausgehend von der allgemeinen Funktion (statt 2 wurde a gesetzt) ist:
int ln(x² + a²)dx =
= int ln(x + a*i) + int ln(x - a*i)
(die beiden Integrale werden nun getrennt nach der Formel
int ln(x)dx = x*(ln(x) - 1) berechnet)
= ....
erhalte ich nach relativ kurzer und leichter Rechnung das mit deinem (Mathematica, Derive, ..) identische Ergebnis:
= x*ln(x² + a²) - 2x + 2*arctan(x/a)
====================================
Wen es interessiert, kann den ganzen Rechenweg haben.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 706
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 18:22: |
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Dieses Integral nervt ganz schön, Friedrich, deine Lösung hat doch einen kleinen Fehler, das Ergebnis sollte sein:
x*ln(x² + 4) - 2x + 4*arctan(x/2)
=================================
also bei arctan soll der Faktor 4 statt 2 stehen; bei meiner allgemeinen Lösung hatte ich nur das a vor arctan hinzuschreiben vergessen:
= x*ln(x² + a²) - 2x + 2a*arctan(x/a)
==============================
mYthos
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1491
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 19:38: |
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ja, Stimmt, war nur mehr ein Rechenfehler
beim einsetzen in die richtige allgemeinere Formel.
(
Die Herleitung mit Beschränkung auf x²+4
wäre auch sehr viel kürzer gewesen
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1493
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 11:04: |
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Hier als Anlage die richigestellete Integration
für ln(ax²+bx+c)
 Integral( ln(a*x^2+b*x+c)), PDF datei
int2.pdf (26.6 k) |
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jezz (Jezz)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 13:23: |
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Danke! |
