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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2653
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:27: | 
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Hi allerseits,20.09.19:27
Hier eine Dreiecksaufgabe etwas anderer Art;
diese Aufgabe ist ziemlich anspruchsvoll.
Sie lautet:
Die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks sind
O(0/0),P(2/0),Q(0/1).
Gesucht wird eine Parabel, die die Katheten dieses Dreiecks
in den Ecken P und Q berührt.
Insbesondere bestimme man die Gleichung, den Scheitel,
den Brennpunkt und die Leitgerade der Parabel.
Hinweise zur Lösung folgen später !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 886
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 09:28: |
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Hi megamath,
hier mal eine Idee von mir:
Es handelt sich um eine Parabel in gedrehter Lage(ax^2+by^2+...). Um sie zu bestimmen würde ich das Koordinatensystem zweimal verschieben, einmal so, das P der neue Ursprung wird und dannnoch um die Gerade y=-(1/2)x, so das am Ende insgesamt das Dreieck mit seiner Grundseite auf der x-Achse liegt. Dann könnte man einfach eine Parabel der Form (ax^2+bx+c) finden die als Nullstellen die die Punkte P' und Q' hat, am Ende müsste man alle Transformationen rückgangiog machen, und erhält die gesuchte Parabel.
Hört sich ziemlich umständig an geht bestimmt auch einfacher, aber das ist erstmal mein Vorschlag!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2658
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 10:49: |
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Hi Ferdi,21.09.11:49
Das ist gut; zuerst sammeln wir Ideen und dann versuchen
wir, diese Ideen zu realisieren.
Wie Du selbst sagst, ist Dein Weg ziemlich umständlich.
Wir suchen andere Wege (plural)!
Mit der ersten Methode, die ich jetzt kurz skizziere, gehen wir
direkt auf die Gleichung der Parabel los.
Bei einer zweiten Methode, die ich später schildere, verwenden
wir Parabelsätze, die aus Gründen der Bequemlichkeit
in der Versenkung verschwunden sind, unter dem Motto
„aus den Augen, aus dem Sinn!“ .
Wir werden die Aufgabe erfolgreich lösen unter dem Titel
„Renaissance nützlicher Parabelsätze“.
1.Methode
Zur Lösung verwenden wir den Ansatz für einen allgemeine
Kegelschnitt in Form der allgemeinen Gleichung zweiten
Grades in x , y :
A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Da die sechs Koeffizienten nur bis auf Proportionalität
bestimmt sind, können bei einer Bestimmungssaufgabe nur
fünf Bedingungen vorgegeben werden.
Zum Beispiel kann man fordern, dass der Kegelschnitt durch
fünf gegebene Punkte allgemeiner Lage geht.
Im vorliegenden Fall sind ausser den zwei Punkten A, B
drei Tangenten gegeben, nämlich die x-Achse ,die y-Achse
sowie die unendlich ferne Gerade der (x,y)-Ebene.
Diese wird nämlich von jeder Parabel dieser Ebene berührt,
wie man von der projektiven Geometrie her weiß;
damit sind fünf unabhängigen Bedingungen aufgestellt.
Zur Vorbereitung der Rechnung ermitteln wir die Ableitung y´.
Wir erhalten durch implizites Differenzieren:
2 A x + 2 B y + 2 B x y´ + 2 C y y´ + 2 D + 2 E y = 0,
daraus :
y´ = - [ A x + B y + D] / [ B x + C y + E ]
Umsetzung der Bedingungen:
(1)
Punkt A(2/0) liegt auf der Parabel:
4 A + 4 D + F = 0
(2)
Punkt B(0/1) liegt auf der Parabel:
C + 2 E + F = 0
(3)
Die Parabel berührt im Punkt A die x-Achse; somit
y´ = 0 für x = 2 , y = 0 :
2 A + D = 0
(4)
Die Parabel berührt im Punkt B die y-Achse; somit
1 / y = 0 für x = 0 , y = 1 :
C + E = 0
(5)
Normierung (willkürlich )
D = 2
(6)
Damit eine Parabel entsteht, muss die Determinante
der quadratische Form A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2
verschwinden, d.h. es muss gelten:
A * C – B ^ 2 = 0
Soweit die erste Hilfe
Weitere Hilfen werden folgen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 887
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 16:21: |
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Also wenn ich das Gleichungssystem löse, erhalte ich:
A=-1 , B=+-2 , C=-4 , D=2, E=4 , F=-4
Kann man hier so einfach D=2 setzen?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2659
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 18:57: |
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Hi Ferdi,21.09.19:57
Ja, das kann man getrost !
Soll ich meine Lösung jetzt schon vorführen?
MfG
H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2660
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 19:15: |
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Hi Ferdi,21.09.20:15
Aus den sechs Beziehungen (1) bis (6) folgt
A = - 1 , B = + 2 oder – 2 (zwei Fälle !)
C = - 4 , D = 2 (fixiert) , E = 4 , F = - 4
Die Gleichungen der Parabeln lauten somit
1.Fall: B = 2 (Normalfall)
- x ^ 2 + 4 x y – 4 y ^ 2 + 4 x + 8 y – 4 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Fall: B = - 2 (Spezialfall)
- x ^ 2 - 4 x y – 4 y ^ 2 + 4 x + 8 y – 4 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt : Bestimmung des Scheitels und
der Achse der Parabel.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 888
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 19:15: |
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Ich bitte darum, muss später wieder in die Kaserne!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2661
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 19:30: |
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Hi Ferdi,21.09.2030
In einem erste Fall ist die Gleichung
x ^ 2 – 4 x y + 4 y ^ 2 – 4 x - 8 y + 4 = 0 zu untersuchen,
welche eine Parabel mit den verlangten Eigenschaften darstellt.
Wir haben die Gleichung aus der letzten Arbeit mit –1
multipliziert, sodass die Koeffizienten neu
A = 1 , B = - 2 , C = 4 , D = - 2 , E = - 4 , D = 4 , F = 4
lauten.
Wir berechnen den Richtungswinkel alpha der Parabelachse
mit der bekannten Formel :
tan (2 * alpha ) = 2 * B / (A - C ) = 4/3
sei m = tan(alpha) die Steigung der Parabelachse.
Dann gilt:
tan(2 * alpha) = 2 * m / ( 1 – m ^ 2) = 4/3.
Für m erhalten wir die quadratische Gleichung
2 m ^ 2 + 3 m – 2 = 0 mit den Lösungen:
m1 = - 2 und m2 = ½.
Dabei ist m2 die Steigung der Parabelachse a und
m1 stellt die dazu senkrechte Richtung der Scheiteltangente
s dar.
Wir ermitteln zuerst die Gleichung von s, sodann berechnen
wir die Koordinaten des Scheitels S und schließlich stellen
wir die Gleichung der Parabelachse a auf.
Ansatz für die Gleichung von s:
y = - 2 x + q
Die Konstante q lässt sich dadurch bestimmen, dass beim
Schnitt von s mit der Parabel der Punkt S als zweifach zu
zählender Schnittpunkt erscheint und die dabei auftretende
quadratische Gleichung eine Doppellösung aufweisen muss.
Durch einsetzen von y in die Gleichung der Parabel entsteht
für x die quadratische Gleichung:
25 x ^ 2 – 4* (5q –3) x + 4 (q - 1) ^ 2 = 0
Wir setzen die Diskriminante d dieser Gleichung null :
d = 400 q ^ 2 – 480 q + 144 – 400 q^2 + 800 q – 400 = 0,
Daraus q = 4/5
Scheiteltangente : y = - 2 x + 4/5.
Der x-Wert xS des Scheitels ergibt sich als die Doppellösung
der obigen quadratischen Gleichung zu
xS = [4(5q-1)] / 50 = 2 / 25, eingesetzt in die
Scheiteltangentengleichung ergibt yS = 16/25 ,also
Scheitel S der Parabel S(0,08 / 0,64)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gleichung der Achse der Parabel:
y – yS = ½ ( x – xS) ,also:
5 x – 10 y = - 6
°°°°°°°°°°°°°°°
Anmerkungen
1.
Eine etwas elegantere Methode zur Ermittlung der Daten
der Parabel
arbeitet mit den Eigenwerten und Eigenvektoren der
quadratischen Form, die in der Parabelgleichung auftritt.
2.
Eine Zusatzaufgabe sei zur Lösung freigegeben.
Man ermittle noch die Gleichung der Leitgeraden L
und den Parameter p der Parabel.
3.
Behandlung des zweiten Falls
Die zweite Gleichung x ^ 2 + 4 x y + 4y ^ 2 – 4 x – 8 y + 4 = 0
stellt eine ausgeartete Parabel dar in Gestalt einer Doppelgeraden.
Die linke Seite der Gleichung lässt sich als ein Quadrat schreiben:
Es entsteht die Gleichung
(x + 2y – 2 ) ^ 2 = 0 , welche zweimal die Gerade PQ darstellt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 889
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 19:35: |
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Hi,
besten Dank für deine Lösung megamath. Sie ist doch deutlich einfacher, bzw. rechenärmer als mein Vorschlag!
Jetzt kann ich beruhigt zur Kaserne fahren...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2662
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 19:44: |
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Hi Ferdi,21.09.20:44
noch ein bisschen !
Zusatzaufgaben:
Das geht ganz einfach mit Hilfe eines bekannten Parabelsatzes,
der da lautet:
Der geometrische Ort der Schnittpunkte zweier senkrechter
Parabeltangenten ist die Leitgerade, und die Verbindungsgerade
ihrer Berührungspunkte geht durch den Brennpunkt der Parabel.
Nun spielen die Koordinatenachsen die Rolle der senkrechten
Tangenten, ihr Schnittpunkt, der Nullpunkt O des
Koordinatensystems, ist somit
ein Punkt der Leitgeraden L; da L zur Scheiteltangente s
parallel ist, lautet die Gleichung von L:
y = - 2 x.
°°°°°°°°°
Der Abstand u des Scheitels S der Parabel von der Leitgeraden L
stimmt mit der Hälfte des Parameters p der Parabel überein.
Wir berechnen u mit Hilfe des Abstandsformel von Hesse
(das ist allerdings nicht Jedermanns Sache, macht nicht´s, hihi)
Normalform von L ( 2x + y ) / wurzel (2 ^ 2 + 1 ^ 2) = 0 oder
(2 x + y ) / wurzel(5) = 0 ; ersetzt man darin x und y durch die
Koordinaten von S, so kommt:
u = ½ * p = [4/25 + 16/25] / wurzel(5) = 4 / [5*wurzel(5)],
daraus
p = 8 / 25 * wurzel (5)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2663
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. September, 2003 - 21:43: |
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Hi Ferdi,21.09.22:43
Es folgen weitere Hinweise zur Lösung der Dreiecksaufgabe 56.
Die Berührungspunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen
seien wiederum, wie am Anfang, mit P und Q bezeichnet.
2.Methode
°°°°°°°°°°°
Verwendung von Parabelsätzen, die
bei dieser Gelegenheit wieder belebt werden sollen.
Es geht in erster Linie um folgende Sätze:
(1)
Der Schnittpunkt zweier orthogonaler Parabeltangenten
liegt auf der Leitgeraden (Direktrix) der Parabel.
Daraus folgt für unsere Aufgabe: d geht durch O.
(2)
Die Verbindungsgerade der Berührungspunkte zweier
Orthogonaler Parabeltangenten geht durch den Brennpunkt
F der Parabel.
Daraus folgt für unsere Aufgabe: die Gerade PQ geht
durch F
(3)
Der Brennpunkt F liegt auf der Senkrechten zur Geraden PQ aus
(2) durch O.
Wir erhalten F als Schnittpunkt der Normalen auf PQ durch O.
(4)
Die Tangente in einem Punkt Q einer Parabel halbiert den
Winkel, den der Brennstrahl FQ mit der durch Q gezogenen
Parallelen zur Achsenrichtung bildet.
Du kannst jetzt so vorgehen:
Bestimme F ; Resultat: F(0,4 / 0.8).
Ein erstes Bravo!*
Bestimme den zu F symmetrischen Punkt G bezüglich
der y-Achse; also: Spiegele G an Y, das ist leicht und
erleichtert alles; Resultat: G(-0,4 / 0,8).
OG ist die Leitgerade d; Gleichung y = - 2 x ,
ein zweites Bravo!*
Die Normale durch F zu d ist die Parabelachse;
Gleichung y = ½ x + 3/5 ,
ein drittes Bravo !*
Der Abstand des Punktes F von d ist der Parameter p,
Resultat: p = 8/25 sqrt(5)
Ein viertes Bravo !*
Zwei weitere Bravos gibt’s für den Scheitel S
und die Scheiteltangente.
Damit ist die Aufgabe wohl bestens gelöst.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Heavyweight (Heavyweight)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 06:08: |
|
Hi Megamath,
Ich habe den ersten Teil der Methode 1 nun auch nachgerechnet...
Alles soweit klar,bis auf
(5)
Normierung (willkürlich )
D = 2
Damit kann ich in diesem Zusammenhang immer noch nichts anfangen.Kannst Du das nochmal kurz erklären?
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
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Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 07:38: |
|
Hi Olaf,22.09.08:38
Diese Frage wird öfters gestellt. Soeben erreicht mich
eine betreffende Anfrage einer sehr aufmerksamen Schülerin.
Ich versuche, eine einleuchtende Antwort zu geben:
Zur Lösung solcher KS-Aufgabe verwenden wir den Ansatz
für einen allgemeine Kegelschnitt in der Gestalt der allgemeinen
Gleichung zweiten Grades in x, y :
A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Wir haben es zunächst mit 6 unbekannten Koeffizienten
A bis F zu tun.
Es gibt sicher solche, die von null verschieden sind.
Ich nehme an, D sei von null verschieden.
Wenn dem nicht so wäre, stoße ich auf einen Widerspruch
im Laufe der Rechnung.
Ich dividiere beide Seiten mit D; es kommt:
A/D x^2 + 2 B/D x y + C/D y^2 + 2 x + 2 E/D y + F/D = 0
Wir verwenden für die Quotienten neue Bezeichnungen
aus der Welt der Sterne und cshreiben:
A*x^2 + 2B* x y + C*y^2 + 2 x + 2 E*y + F* = 0
Es geschehen Zeichen und Wunder:
Der Koeffizient von x ist jetzt 2!
Kurzum:
Da die sechs Koeffizienten nur bis auf Proportionalität
bestimmt sind, kann einer der Koeffizienten mit einer beliebigen
von null verschiedenen Zahl belegt werden.
Ein KS hat den Freiheitsgrad fünf, nicht 6.
Viele Menschen haben den Freiheitsgrad null, wenn sie sich
nicht zur Wehr setzen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 17:16: |
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Hi Megamath,
Vielen Dank,jetzt ist es mir klar!
Gruß,Olaf |
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