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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2649
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 15:38: | 
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Hi allerseits,20.09.16:38
Aufgabe LF XXXV
Gesucht werden alle Lösungen der Gleichung
(z-i1)^3 = - i1
Elegante Lösungen werden bevorzugt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 873
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 17:03: |
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Hi Megamath,
hat die "1" etwas zu bedueten oder soll ich die Aufgabe wie folgt verstehen:
(z-i)^3 = - i
mfg
Niels
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2651
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 17:19: |
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Hi Niels,20.09.18:19
Ja ,Du sollst das so verstehen.
Die Schreibweise komplexer Zahlen ist eine Geschichte für sich. Nur so viel:
a + bi wird auf unserer Welt da und dort auch
a + i b geschrieben; Belege finden sich.
statt 3 + 4 i ist auch 3 + i 4 in
Gebrauch etc.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 875
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. September, 2003 - 18:01: |
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Hi Megamath,
dann ist es ja gut.
zur Aufgabe:
man erinnere sich:
i^(4n)=1
i^(4n+1)=i
i^(4n+2)=-1
i^(4n+3)=-i
n Element N0
also kann man sich für i^3 die Karten legen....
Man erkennt sofort das
z-i=i=>z=2i
Also haben wir schonmal eine Lösung der Gleichung! Nun könnten wir Prinzipiell wie in der Vorgängeraufgabe verfahren.
soviel erstmal.
mfg
Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2666
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 09:50: |
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Hi allerseits,22.09.10:50
Zu dieser Aufgabe herrsch seit beinahe 40 Stunden
Funkstille,
Daher gestatte ich mir, die Aufgabe vollständig zu lösen:
Lösung
Setze z - i1 = w und suche w aus der Gleichung
w ^ 3 = - i1 als neue Unbekannte.
Die rechte Seite stellst Du in dreifacher Weise
in trigonometrischer Form dar:
- i1 = cos 270° + i sin 270°
- i1 = cos (270° + 360°) + i sin (270° +360°)
- i1 = cos (270° + 720°) + i sin (270° +720°)
Wir ermitteln nun die dritte Wurzel aus - i1,
indem wir die Argumente (die Winkel) auf den
rechten Seiten der obigen Relationen je durch
drei dividieren.
Wir erhalten der Reihe nach:
w1 = cos 90° + i sin 90° = i1
w2 = cos 210° + i sin 210° = ½ (- sqrt(3) – i 1)
w3 = cos 330° + i sin 330° = ½ ( sqrt(3) – i 1)
Um z zu erhalten, addieren wir zu diesen w-Werten
jeweils i1; es kommen als Lösungen für z:
z1 = i2
z2 = ½ (- sqrt(3) + i 1)
z3 = ½ ( sqrt(3) + i 1)
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MfG
H.R.Moser,megamath
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